学习笔记 Nim
Nim
谁取到最后一个谁赢
定义 : 异或和为0 T态 异或和不为0 S态
定理1 对于任意一个S态 总能合理合法地使其转化为T态
这是可以证明的
还记得取火柴游戏吗 ? ? ?
\(x=a_1\ xor\ a_2\ xor\ a_3\ xor\ ......\ xor\ a_n>0\)
那么根据异或的意义 对于x的最高位 必定存在\(a_i\)与其最高位对应
那么$ a_{ii}=a_i\ xor\ x<a_i $如果具有着相同最高位的话 一定是相互消去最高位的
所以我们仅需要从\(a_i\)当中取出\((a_i-a_ii)\)根火柴 S->T
定理2 对于任意一个T态 无论怎么取 都是转化为S态
反证法证明
\(x_1=a_1\ xor\ a_2\ xor\ a_3\ xor\ ......\ xor\ a_i\ xor\ ......\ xor\ a_n=0\)
\(x_2=a_1\ xor\ a_2\ xor\ a_3\ xor\ ......\ xor\ a_{ii}\ xor\ ......\ xor\ a_n=0\)
那么\(x_1\ xor\ x_2=a_1\ xor\ a_2\ xor\ a_3\ xor\ ......\ xor\ a_i\ xor\ ......\ xor\ a_n\ xor\ a_1\ xor\ a_2\ xor\ a_3\ xor\ ......\ xor\ a_{ii}\ xor\ ......a_n=0\)
也就是\(a_i\ xor\ a_{ii}=0\) 与已知矛盾 所以得证
那么 一开始为S态
先手可以先将S态转换为T态
然后就是后手 先手 后手 先手
由于每一次 后手面对的是T态 只可以将T态->S态
但是先手绝顶聪明 总是可以将S态->T态
那么 最后总会是后手面对全0的T状态 那么就是loser
同理一开始为T态。。。。。。
