以前记下的

• 欧拉回路中一个点所有邻接边奇偶性一定一半奇数一般偶数，假设一个点有m条邻接边，m/2条进来的，m/2条出去的，相邻的两条奇偶性一定不同。

• 树的直径不一定唯一，但是直径中点唯一（可以分一下类，发现所有情况下都满足）

• 树上任意一个点到达与其相距最远的点的路径必然经过树的中点

• DAG 最小路径覆盖（覆盖所有的点） = DAG 节点数 - 对应二分图的最大匹配

• 二分图最小点覆盖（选最少的点覆盖所有的边） = 最大匹配

• 二项式反演
  \(f_k\) 恰好k个，\(g_k\) 至多k个
  \(g_k=\sum\limits_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f_i\)
  反演得
  \(f_k=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}\binom{k}{i}g_i\)

  \(f_k\) 恰好k个，\(g_k\) 至少k个
  \(g_k=\sum\limits_{i=k}^{n}\binom{i}{k}f_i\)
  反演得
  \(f_k=\sum\limits_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}g_i\)

• 斯特林数与上升幂下降幂

  • \(x^{\bar{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^{i}\)
  • \(x^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^{i}\)
  • \(x^n=\sum\limits_{i=1}^{n}\binom{x}{i}i!\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}\)

• 裂项法
  \(\frac{1}{a(a+b)}=\frac{1}{b}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b})\)

• 指数型生成函数
  \(e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\)
  证明用到泰勒公式 \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{f^{i}(x_0)}{i!}(x-x_0)^{i}\)
  将 \(f(x)=e^x\) 在\(x=0\) 处泰勒展开后，由 \(\left[ e^x \right]' =e^x\)，得 \(e^x=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\)

  一般指数型生成函数我们会写作 \((e^x)^{cnt}=(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...)^{cnt}\)
  \(e^{ax}\) 展开式为 \(1+\frac{ax}{1!}+\frac{(ax)^2}{2!}+\frac{(ax)^3}{3!}+...\)，所以其 \(x^n\) 项系数为 \(\frac{a^n}{n!}\)
  其 \(x^n\) 项系数为 \(n\) 个位置， \(a\) 个可重集的排列方案数中的分母部分，系数再乘上 \(n!\) 才是总方案数

  另外，\(e^{-x}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{(-x)^i}{i!}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{x^i}{i!}\)
  要求每种可重集内部元素个数为奇数，生成函数为 \(\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{x^1}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...\)
  要求每种可重集内部元素个数为偶数，生成函数为 \(\frac{e^x+e^{-x}}{2}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...\)

• 积性函数 \(\varphi\) \(\mu\) 相关

  • 积性函数的狄利克雷前缀和也是积性函数 ： \(s(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)=\prod\limits_{i}\sum\limits_{j=0}^{k_i}f(p_i^{j})\)
  • 两个积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数 ： \(c(n)=\sum\limits_{d|n}a(d)b(\frac{n}{d})=\prod\limits_{i}\sum\limits_{j=0}^{k_i}a(p_i^{j})b(p_i^{k_i-j})\)
  • \(\varphi\) 的性质 ： \(n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\) 即 \(id=\varphi*1\)
  • \(\varphi(ab)=\frac{\varphi(a)\varphi(b)(a,b)}{\varphi((a,b))}\)
  • \(\varphi\) 与 \(\mu\) 的关系 ： \(\varphi(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}\) 即 \(\varphi=\mu*id\)
  • \(\mu\) 的重要性质 ： \([n=1]=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\) 即 \(\varepsilon=\mu*1\)
  • 在求\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[i\perp j]\) 时 \(\mu(d)\) 是 \(d\) 这个因子的容斥系数 ： \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[i\perp j]=\sum\limits_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor\)

• 杜教筛

  我们要求 \(s(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)\)
  已知 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})=\sum\limits_{i=1}^{n}g(i)\sum\limits_{j=1}^{\frac{n}{i}}f(j)\)
  即 \(\sum\limits_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum\limits_{i=1}^{n}g(i)s(\frac{n}{i})\)
  移项 \(s(n)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum\limits_{i=2}^{n}g(i)s(\frac{n}{i})}{g(1)}\)
  所以我们需要构造 \(g\) ，而且对于一个 \(n\) 能快速求出 \(\sum\limits_{i=1}^{n}(f*g)(i)\) ，一般是 \(\mathcal{O}(1)\)
  线性筛出 \(i\) 较小的 \(f(i)\) ，预处理出 \(s(i)\) \((i \leq \mathcal{O}(n^{\frac{2}{3}}))\)，询问时用 \(map\) 记忆化一下，小于 \(n^{\frac{2}{3}}\) 的或者 \(map\) 中有的直接返回，否则递归求解，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^{\frac{2}{3}})\)

• \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sigma_0(ij)=\sum\limits_{i|n}\sum\limits_{j|m}[i \perp j]\)