集合论

集合

等值演算：

• 德摩根$$\neg (A \cup B) \Leftrightarrow (\neg A \cap \neg B)$$
• 蕴含等值式$$A \to B \Leftrightarrow \neg A \cup B$$

命题逻辑推理：$$(A \rightarrow B) \cap A \rightarrow B$$

反证法：\(((A \rightarrow B) \cap \neg B) \rightarrow \neg A\)

一阶谓词：
个体x，谓词F(x)，量词

• 量词的否定

\[\neg \forall x A(x) \Leftrightarrow \exists x \neg A(x) \]

\[\neg \exists x A(x)\Leftrightarrow \forall x \neg A(x) \]

• 辖域扩张与收缩

\[\forall x \, (A(x) \cup B) \;\Leftrightarrow\; \big(\forall x \, A(x)\big) \cup B \]

\[\forall x \, (A(x) \to B) \;\Leftrightarrow\; (\exists x \, A(x)) \to B \]

其中\(\forall x \, (B \to A(x)) \;\Leftrightarrow\; B \to \forall x \, A(x)\)，B无约束，含义不改变

前束范式： 应用前三个+换名规则做变换，得到all量词在开头的形式

freeZ：当z无约束时

幂集：all子集的集合，多重集：元素出现多个，ik为i元素的重复度
集族：集合的集合，对集族中集合进行标记则为标记集

用标记集讨论集合间的关系

交集闭合：\(\beta = \left\{ A_1, A_2, A_3 \right\}\)，其中\(A_1 = \left\{ 1, 2\right\}\)，\(A_2 = \left\{ 2, 3 \right\}\)，
\(A_3 = \left\{ 1,2, 3 \right\}\)，则\(A_1 \cap A_2\) = A3(仍为集族中出现过集合)为交集闭合

相对补A-B： $ x \in A \wedge x \notin B $
对称差 $A \oplus B $： $ (x \in A \wedge x \notin B) ;\cup; (x \notin A \wedge x \in B)$
绝对补 \(E - A 简记为 \sim A\)：\(\{\, x \mid x \notin A \,\}\)
广义并：\(\bigcup_{i \in I} A_i\)，\(\{\, x \mid \exists z \,( z \in A \wedge x \in z ) \,\}\)
广义交：\(\bigcap_{i \in I} A_i\)，\(\{\, x \mid \forall z \,( z \in A \to x \in z ) \,\}\)

容斥原理：不断修补过程

\[\left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \cdots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n| \]