P2966 [USACO09DEC] Cow Toll Paths G 题解

P2966 [USACO09DEC] Cow Toll Paths G 题解

题目链接

我的博客

思路

首先看数据范围。发现 \(1 \leq n \leq 250\)，此题还是一个最短路问题，因此考虑Floyd算法。

但是这道题不仅仅涉及到边权，还有点权，并且要求点权最大的最小值。因此我们可以按照点权从小到大排序来跑Floyd。

\[dis_{i,j}=\min \{ dis_{i,k}+dis_{k,j} \} \]

最终的答案就是

\[ans_{i,j}= \min \{dis_{i,j}+\max\{val_i,val_j,val_k \} \} \]

注意：按照点权排序后的点的编号与之前不同，因此要将上文中的 \(i,j,k\) 改为 \(id_i,id_j,id_k\)。

时间复杂度 \(O(n^3)\)。

如果你发现你按照以上方法仅仅获得 \(50pts\) 的好成绩，恭喜你！

可能有重边，但保证无自环。

所以你需要处理重边，即每次输入的时候 \(dis_{u,v}=\min ( dis_{u,v},w)\)。

代码

const int N=250+10;
int n,m,q;
int dis[N][N],ans[N][N];
//dis：表示最短路的距离
//ans：表示答案
struct node{
	int id,w;//id：点的编号，w：点权
}c[N]; 
bool cmp(node A,node B){return A.w<B.w;}//按照点权从小到大排序
signed main(){
	n=Read();m=Read();q=Read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		c[i].w=Read();
		c[i].id=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) dis[i][j]=INF,ans[i][j]=INF;//初始化
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;//自己到自己为 0
	while(m--){
		int u=Read(),v=Read(),w=Read();
		dis[u][v]=dis[v][u]=min(dis[u][v],w);//处理重边！
	}
	sort(c+1,c+n+1,cmp);
	for(int k=1;k<=n;k++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				dis[c[i].id][c[j].id]=min(dis[c[i].id][c[j].id],dis[c[i].id][c[k].id]+dis[c[k].id][c[j].id]);//同上文
				ans[c[i].id][c[j].id]=min(ans[c[i].id][c[j].id],dis[c[i].id][c[j].id]+max(max(c[i].w,c[j].w),c[k].w));
			}
		}
	} 
	while(q--){
		int s=Read(),t=Read();
		printf("%d\n",ans[s][t]);
	}
	return 0; 
}