20240119方程图像研究
事情起因：
研究人：csj、lqy、xzq、yjf
前言
方程 \(f(x,y)=0\) 的图像相比函数更为抽象，它同时涉及 \(x,y\) 两个参数，没有“一个 \(x\) 对应一个 \(y\)”的限制，可能具有高次项（如 \(x^4\)）、交叉项（如 \(xy\)）等复杂的形式。在这种情况下，对方程图像研究的研究策略显得尤为重要。
方程图像研究要求：
- 描点法画图（使用卡西欧），在 \(x\) 轴上任取值，对于给定 \(x_0\)，应在有限时间内求出所有对应的 \(y\)。
- 草图绘制（直接绘制）：综合方程性质（如定义域、单调性、对称性），明确区间单调性及端点，利用对称性作图、或化归为已知方程并求出其参数。
- 精准图像绘制（使用 Geogebra）：已知 Geogebra 可以绘制关于两个参数 \(x,y\) 方程 \(f(x,y)=0\) 的图像，所有研究最后应经过检验。
下文将先以 \(x^4+y^4=x^2+y^2\)、\(11x^2+10xy+3y^2+4x+4y=0\) 为例，按照上述要求进行探索，罗列对图像研究有所帮助的思路，并在最后对思路进行复盘。
Q1：方程 \(x^4+y^4=x^2+y^2\)
描点法
设 \(t=y^2\)，以 \(x\) 作为参数，移项得：\(t^2-t+(x^4-x^2)=0\)。
对于给定的一个 \(x_0\in R\)，可以利用卡西欧求解四次方程，或手动（卡西欧）求解二次方程，得到对应这个 \(x_0\) 的所有 \(y\) 值。
草图绘制
第一，观察到原方程中所有 \(x,y\) 都是平方或四次方，因此考虑对称性。取 \(P(x,y)\in \text{I}\)，将 \(P'(-x,y)\) 代入原方程，易得原方程依然成立。同理可知 \((x,-y),(-x,-y)\) 同样成立。于是原方程的图像关于原点对称（坐标轴上的点也满足）。 接下来，我们只需要研究它第一象限（含两条坐标轴正半轴，下文同）的图像即可。
第二，观察到原方程的形式非常对称（\(x,y\) 完全可以交换），于是可以进一步研究它的对称性。取 \(P(x,y)\in \text{I}\)，\(Q(y,x)\) 也满足方程，所以它第一象限的图像关于直线 \(y=x\) 对称。 接下来，我们只需要研究它第一象限在直线 \(y=x\) 上方的部分（\(y>x\)）即可。
第三，联想到圆的方程，可以进行配方，得到 \(\displaystyle(x^2-\frac12)^2+(y^2-\frac12)^2=\frac12\)。
第四，由于其关于原点对称，想到使用极坐标。设 \(\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\end{cases}\)，则 \(x^2+y^2=\rho^2\)。代入化简得到：\(\rho^2(\cos^4\theta+\sin^4\theta)=1\)。进一步化简得到：\(\rho^2=\displaystyle\frac{1}{1-\frac12\sin^22\theta}\)，可以形象地知道：方程在第一象限的图像类似于一个圆的一部分。
第五，原方程可以把 \(x,y\) 分开（即不包含 \(x^ay^b\) 项），移项得到 \(x^4-x^2=-(y^4-y^2)\)。观察到移项后两侧具有相同的形式。于是可以设 \(f(a)=a^4-a^2\)，图像上任意一点 \(P(x,y)\) 均满足 \(f(x)=-f(y)\)。
通过标根法我们可以画出 \(f(a)\) 的图像。
按照上文的思路，为研究原方程在第一象限且 \(y>x\) 的图像，我们观察 \(f(a)\) 图像 \([0,+\infty)\) 的部分，并且取 \(y_0\in[1,+\infty)\)，在图像上画出 \(y=f(y_0)\) 和 \(y=-f(y_0)\) 两条平行于 \(x\) 轴的直线。我们容易得到以下两条结论：
- 这部分图像，一个 \(y_0\) 对应两个 \(x_0\)，原方程图像的趋势是先增后减，记 \(f(a)\) 在 \((0,1)\) 上的极值点为 \(x_a\)，则原方程图像在 \(x_a\) 处取得最大值
- \(x\) 的取值是有限的，并且 \(y\) 的取值范围也是有限的
进一步，我们希望求出 \(f(a)\) 在 \((0,1)\) 上的那个极小值点。求导得 \(f'(a)=4a^3-2a=a(4a^2-2)=0\Rightarrow a=\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}\)。因此，原函数的这部分图像在 \([0,\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}]\) 严格增，在 \([\displaystyle\frac{\sqrt2}{2},1]\) 严格减，使用在“描点法”中提到的求 \(y\) 的方法，求得：最高点 \((\displaystyle\frac{\sqrt2}{2},1.0986841134678111)\)，最低点 \((0,1),(1,1)\)。
或配方，\(\displaystyle(x^2-\frac12)^2+(y^2-\frac12)^2=\frac12\)，当 \(x=\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\) 时，\(\displaystyle(x^2-\frac12)^2=0\)，此时有 \(y\) 的最大值 \(\displaystyle\sqrt{\sqrt{\frac12}+\frac12}\)。
最后，根据上文的对称性，我们可以画出原方程的图像。形象地说，是以 \((-1,1),(-1,-1),(1,1),(1,-1)\) 为顶点的正方形向外胖出一点点。
精确图像绘制
复盘
Q2：方程 \(11x^2+10xy+3y^2+4x+4y=0\)
描点法
对于任意给定的 \(x_0\)，代入，能得到一个关于 \(y\) 的一元二次方程，求解即可得到对应 \(x_0\) 的两个 \(y_0\)。
草图绘制
第一，取图像上一点 \(P(x,y)\)，代入 \(P(-x,y)\) 等易得：原方程不关于原点或对称轴对称。
第二，原方程左侧不带常数项，显然必过 \((0,0)\)。
第三，联想到形如 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F\) 的式子可以由两个带 \(x,y\) 的一次式子相乘得到，如 \((x+y+1)^2\)，故猜测可能是两条直线。
接下来我们可以解方程验证这一想法。先整理方程得：\(11x^2+(10y+4)x+3y^2+4y=0\)，计算 \(\Delta=(10y+4)^2-44(3y^2+4y)=-32y^2-96y+16\)。显然，\(y\) 不可能取遍一切实数，因而不可能是直线。
（可以通过取两个 \(x\) 确定 4 个 \(y\)，组成 2 条直线，然后取第三个点代入验证，同样可以否定两条直线的想法。但这样计算过于繁琐，因此开始考虑直接求 \(\Delta\)，观察是否可以求得比较简单的特殊点，进而发现 \(y\) 不可取遍一切实数这一性质。）
同理主元 \(y\)，易得 \(x\) 也不可能取遍一切实数，因而原方程的图像必然是一个有限的封闭图形。
上网查资料，二次曲线 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\) 是圆锥曲线，由此继续研究。根据上文所得“有限封闭图形”，原方程的图像只能是椭圆经过平移与旋转后所得。
此外，通过求 \(x\) 和 \(y\) 的范围。可以发现 \(\displaystyle x\in[\frac{1-\sqrt{\Delta_1}}{2},\frac{1+\sqrt{\Delta_1}}{2}]\)，其取值范围关于 \(\displaystyle\frac12\) 对称；\(\displaystyle y\in[\frac{-3-\sqrt{\Delta_2}}{2}, \frac{-3+\sqrt{\Delta_2}}{2}]\)，其取值范围关于 \(-\displaystyle\frac{3}{2}\) 对称。显然，最左侧和最右侧的点关于对称中心对称，最上面和最下面的点也关于对称中心对称，于是对称中心为 \(\displaystyle(\frac12,-\frac32)\)。
通过把原方程中 \(x\) 换为 \(x+\displaystyle\frac12\)，把 \(y\) 换成 \(y-\displaystyle\frac32\)，易得平移前的方程为：\(11x^2+3y^2+10xy-2=0\)。
接下来求旋转角和原椭圆方程。
设旋转前椭圆上一点为 \(P(x,y)\)，旋转后椭圆 \(11x^2+3y^2+10xy-2=0\) 上的一点为 \(Q(x',y')\)，设 \(d=\left|\vec{OP}\right|=\left|\vec{OQ}\right|\)，\(\vec{OP}\) 与 \(x\) 轴正半轴的夹角为 \(\alpha\)。设原椭圆向逆时针旋转 \(\theta\in(0,\pi]\)，并且 \(\left<\vec{OP},\vec{OQ}\right>=\theta\)。
则有 \(\begin{cases}x=d\cos\alpha\\ y=d\sin\alpha\\ x'=d\cos(\alpha+\theta)\\ y'=d\sin(\alpha+\theta)\end{cases}\)，两角正弦和公式展开得 \(\begin{cases}x'=d(\cos\alpha\cos\theta-\sin\alpha\sin\theta)\\ y'=d(\sin\alpha\cos\theta+\cos\alpha\sin\theta)\end{cases}\)，将 \(x,y\) 代入得 \(\begin{cases}x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta\end{cases}\)。（此处参考知乎）
将 \((x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta)\) 代入旋转后的方程：\(11(x\cos\theta-y\sin\theta)^2+3(x\sin\theta+y\cos\theta)^2+10(x\cos\theta-y\sin\theta)(x\sin\theta+y\cos\theta)=2\)。
化简，即可用 \(\theta\) 表示旋转前的方程：
- \(x^2\) 项： \((11\cos^2\theta+3\sin^2\theta+10\cos\theta\sin\theta)x^2\)
- \(y^2\) 项：\((11\sin^2\theta+3\cos^2\theta-10\cos\theta\sin\theta)y^2\)
- \(xy\) 项：\((-8\sin2\theta+10\cos2\theta)xy\)
- 常数项：\(-2\)
由于旋转前的方程是标准方程，所以 \(xy\) 项的系数 \(\displaystyle -8\sin2\theta+10\cos2\theta=0\Rightarrow\tan2\theta=\frac54\Rightarrow \theta=90°\times k + \frac12\arctan\frac54\ (k\in Z)\)。
当 \(\displaystyle\theta=\frac12\arctan\frac54\) 时，原椭圆方程约为 \(13.4x^2+0.59y^2=2\)。
当 \(\displaystyle\theta=90°+\frac12\arctan\frac54\) 时，原椭圆方程约为 \(0.59x^2+13.4y^2=2\)。
这两者旋转后的结果是一致的。
综上，原方程的图像是椭圆 \(0.59x^2+13.4y^2=2\) 逆时针旋转 \(\displaystyle\frac12\arctan\frac54\approx25.04°\) 后向 \(\displaystyle(\frac12,-\frac32)\) 平移后所得。
精确图像绘制
复盘
总结
由上文对两个方程的探究，可以总结出方程图像研究的具体条目：
- 是否过特定点
- 对称性
- 看到偶次项，代入 \(P(-x,y)\) 等研究其对于坐标轴、原点的对称性
- 看到形式上很对称的方程，\(x,y\) 完全可以互换，可以考虑 \(y=x\)
- 有关于某个特定点的对称性（如椭圆的对称中心），可以通过 \(x,y\) 取值范围的中心求出这一对称中心
- 具有对称性的图像，使用极坐标进行研究会比较简便
- 化归为已知方程
- 类比圆进行配方，可求最值
- 判断 \(x,y\) 是否可以取遍一切实数判断是否为有限的封闭图形
- 二次曲线 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\) 是圆锥曲线
- 平移：上加下减，左加右减
- 旋转：用旋转前的坐标，表示旋转后的坐标，代入旋转后的方程，得到旋转前的方程
- 如果方程两侧形式一致，可以考虑抽象为同一个函数 \(f(a)\)，进而研究 \(f(a)\)
上文对思路的罗列可能略显凌乱，接下来将通过研究方程 \(x^4+y^4=1\) 实践总结出的策略。
Q3：\(x^4+y^4=1\)
- 显然过点 \((\pm1,0),(0,\pm1)\)
- 对称性
- 都是偶次项，代入 \(P(-x,y)\) 等易得方程图像关于原点、坐标轴对称
- 形式对称，代入 \(Q(y,x)\) 符合，说明其关于直线 \(y=x\) 对称
- 无特殊对称中心
- 使用极坐标，设 \(\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\end{cases}\)，代入得到 \(\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)=1\)，使用降次公式化简得到 \(\rho^4=\displaystyle\frac{4}{3+\cos4\theta}\)，从形式上看类似于一个圆，对比单位圆 \(\rho=1\) 可以形象地知道：原方程图像比单位圆胖出一圈
- 化归为已知图像
- 类比圆，此处已经完成配方，易得当 \(x=0\) 时 \(y_{max}=1,y_{min}=-1\)。
- 取其第一象限研究，移项得 \(y=\sqrt[4]{1-x^4}\)，随着 \(x\) 的增大 \(y\) 减小，并且 \(\begin{cases}-1\leq x\leq1\\ -1\leq y\leq 1\end{cases}\)
- 四次曲线，不是圆锥曲线
- 不必考虑平移或旋转
- 设原方程等价于 \(x^4+m=-y^4-m\)，计算得 \(m=-\displaystyle\frac12\)，于是可以抽象出函数 \(f(a)=a^4-\displaystyle\frac12\)，曲线上的点 \((x,y)\) 满足 \(f(x)=-f(y)\)。由图像的对称性，仅研究第一象限内 \(y>x\) 的部分，同样可以得到：该部分图像在 \([0,\displaystyle\sqrt[4]\frac12]\) 上严格减，端点为 \((0,1),\ (\displaystyle\sqrt[4]\frac12,\displaystyle\sqrt[4]\frac12)\)
综合上述研究，容易画出原函数的图像：
结语
通过对三个方程的研究，本文研究了方程图像绘制的具体研究条目，为研究抽象方程提供了路径。
受制于研究的方程数量，本文的总结可能有所欠缺，有待进一步补充。
参考资料
（均已在使用处以链接形式标出）
