01分数规划
01 分数规划
定义及做法
01 分数规划，求 \(f=\frac{\displaystyle\sum^n_{i=1}{a_i\times w_i}}{\displaystyle\sum^n_{i=1}{b_i\times w_i}}\) 的最小值或最大值，其中 \(w_i=\begin{cases}0 & choose\\ 1 & not \ choose\end{cases}\)。做法是二分答案。
限制选择个数的情况
例： POJ-2976，AC代码提交记录（题外话：POJ 太**了……）
此处以最大值为例，假设在二分答案的过程中，现在考虑 \(k\) 是否为最大值。
若 \(k\) 不是最大值，即存在一组 \(w\) 使得 \(f\geq k\)，即 \(k\leq f_{max}\)。
将 \(f\) 展开，不妨记作 \(\displaystyle\frac{\sum a}{\sum b}\geq k\)，移项得 \(\sum a-k\times \sum b\geq 0\)。
也就是说，只要满足 \(\sum a-k\times \sum b\geq 0\)，就能说明 \(k\leq f_{max}\)，\(k\) 不是最大值。
根据这一点，可以设 \(c_i=a_i-k\times b_i\)，在限制选择 \(m\) 个的情况下，可以贪心，按照 \(c\) 从大到小选择 \(m\) 个，令 \(w=1\)。
排序选择后，有 \(\displaystyle\sum^m_{i=1}c_i=\displaystyle\sum^m_{i=1}\{a_i-k\times b_i\}=\displaystyle\sum^m_{i=1}\{a_i\}-k\times\displaystyle\sum^m_{i=1}\{b_i \}\)。
也就是说，如果 \(\displaystyle\sum^m_{i=1}c_i\geq 0\)，那么有 \(k\leq f_{max}\)，把这个作为 check() 函数，然后据此二分即可。
时间复杂度 \(O(n \log n)\)。
限制 \(\sum b\geq B\) 的情况
和上面不同的是，对于 \(c_i=a_i-k\times b_i\)，不能从大到小选择，因为这样没有将 \(\sum b\) 纳入考虑范围。
一种可行的做法是 01 背包。
注意这里 \(\sum b\) 会大于题目给定的 \(B\) 的范围，可能爆空间，需要将状态转移方程中 \(w-b_i\) 换为 \(w+b_i\)：
当 \(w+b_i\geq B\) 的时候，一律当作 \(B\) 做。不妨设 \(x=min\{B,w+b_i\}\)，则状态转移方程可以化简为：
进一步使用滚动数组优化：
注意 \(c_i\) 可正可负，\(dp[i]\) 的初值应设为负无穷，\(dp[0]=0\)，部分代码如下：
// 初始化
for (int i = 1; i <= n; ++i) { dp[i]=-1e9; }
dp[0] = 0;
// D.P.
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = B; j >= 0; --j) {
int x = min(B, j+b[i]);
dp[x] = min(dp[x],dp[j]+c[i]);
}
}
这种改写方法能保证正确性的同时保证数组开得下，时间复杂度 \(O(n \log (n^2))=O(n \log n)\)。
与最小生成树结合
例：POJ-2728，AC代码提交记录（P！O！J！你！*！*！）
