jr数学的退休生活-2

欧拉函数：

伟大的数学家欧拉定义了这样一个函数：\(\phi(n)\) .他的定义很简单，在 \(1,2,...,n\) 里与 \(n\) 互质 的数的数量。如果要表示里面的每一个数表示，那便是：

\[\forall n,x \in N,x \le n \Longrightarrow gcd(x,n) = 1 \]

那么这样一个函数，该怎么求呢？

求法(容斥/通项公式):

如果考虑使用容斥原理，我们就需要先算出所有不互质的数，对于一个整数 \(n\) 其可以被表示为 \(p_1^{a_1} + p_2^{a_2} + ,..., + p_m^{a_m}\) 的形式，由于不同的情况之间会有重复的情况，所以在减的过程中也要把重复的加回去。最终的结果为：

\[ n - \frac{n}{p_1} - \frac{n}{p_2} - ...-\frac{n}{p_n} \\ + \frac{n}{p_1p_2} + \frac{n}{p_1p_3} + ... + \frac{n}{p_{n-1}p_n} \\ ... \\ + (-1)^{m + 1} \frac{n}{p_1p_2...p_n} \]

而除此之外还有一种求法：

\[\phi(n) = n \prod^{m}_{i=1} (1 - \frac{1}{p_i}) \]

而下面这个公式，和上面是同一个，将开头的 \(n\) 乘进括号后，在根据二项式定理展开可得，分数前面的正负由选择 \(p_i\) 的数量决定，奇负偶正。

下面是根据方法二写出的代码：

• 代码：

  #include<bits/stdc++.h>
  #define int long long
  using namespace std;
  int n;
  int phi(int x){
  	int res = x;
  	while(int i = 2;i * i <= x;i++){
  		if(x % i == 0){
  			while(x % i == 0) x /= i;
  			res -= res / i;
  		}
  	}
  	if(x > 1) res -= res / x;
  }
  signed main(){
  	cin >> n;
  	cout<<phi(n);
  	return 0;
  }
  

扩展：

定理1：1到 \(n\) 中与 \(n\) 互质的数之和结果为 \(\frac{n \cdot \phi(n)}{2}\).

定理2：两个整数 \(a,b\) 互质，则满足 \(\phi(a\cdot b)=\phi(a) \cdot \phi(b)\)

此定理其实是积性函数的一个应用。

扩展1：\(\phi(p) = p-1 (p \in P)\).

欧拉定理：

对于两个整数 \(a,n\) ,在a和n互质的情况下，满足 \(a^{\phi(n)} \equiv 1(mod\ n)\) .

这定义是不是很熟悉？当 \(\phi(n)\) 结果为 $n-$1 时，欧拉定理就演变成了费马小定理。

中国剩余定理：

现在看一下这道问题：

\[有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ ——《孙子算经》 \]

如果翻译成现代文的意思，就是一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

我们将其传化为数学形式，得到了一个同余方程组：

\[\begin{cases} x \equiv 2(mod\ 2)\\ x \equiv 3(mod\ 5)\\ x \equiv 2(mod\ 7)\end{cases} \]

那么这个问题该如何解决呢？

在一般的情况下，我们只求最小可能值。下面是该方法的流程：

对于每一种除数 \(m_i\) ,我们都需要构造模 \(m_i\) 的结果为 \(a_i\) ，模其他的数为0的特殊数字 \(t_i\).:

1. 对于每一个数字 \(t_i\) ,其构造方法为 \(t_i\) 乘除了 \(m_i\) 以外其他除数的乘积再乘其在模 \(m_i\) 状态下的逆元。
2. 将每一个数字 \(t_i\) 相加后，最后取余所有除数的乘积即为方程组的最小解。

为什么操作一是这样的？我们要构造出的数要符合每个方程组的条件，之所以要再乘一个逆元，根据逆元的定义，满足两个数相乘的结果模之后为1，这样的数在最终取余时可以被别的数整除，也能满足当前余数的条件。

例题：P1945

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,a[15],b[15],cnt,ans = 1;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(a == 0 && b == 0){x = y = 0;return 0;}
    if(b == 0){
        x = (a >= 0 ? 1 : -1);
        y = 0;
        return a >= 0 ? a : -a;
    }
    int x1 , y1;
    int g = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return g;
}
int exgcd_inverse(int a,int b){
    int x , y;
    int g = exgcd(a,b,x,y);
    if(g != 1) return -1;
    x %= b;
    x = (x + b) % b;
    return x;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin >> a[i] >> b[i];
        ans *= a[i];
    }
    //中国剩余定理
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        int k = ans / a[i];
		int x , y;
		exgcd(k , a[i] , x , y);
		cnt = cnt +  k * b[i] * x % ans;
    }
    cout <<((cnt % ans) + ans) % ans;
    return 0;
}

扩展欧几里得：

还在写…