蒟蒻退休后的数学生活-1

蒟蒻数学真的是烂到没边了，所以遇到错误请多多指出.

威尔逊定理&费马小定理：

首先看一下威尔逊定理的定义：

\[\forall \ p\in P\Longrightarrow \left (p-1\right )!\equiv p-1\ mod\ p \]

式子的文字意义，就是当满足 \(p\) 为质数时，满足 \(\left (p-1\right )\) 的阶乘模 \(p\) 结果为 \(p-1\) .

那么怎么证明呢？事实上，我也不知道QAQ，但是可以看一下求导过程:

假设我需要去证明这个定理，那么图中有什么有用的信息是可以用到的呢？
由引理证明，我们得出了这个结论：

\[x^{p-1}\ -1\equiv (x-1)\cdot \cdot\ \cdot (x-p+1)(mod\ p) \]

我们可以直接使用这个结论，当其中x为p时，式子便演变为了威尔逊定理的最初定理，也便证明了这个定理.

但是我们如果注意其中的式子，会发现其中有一个项为 \(x^{p-1}\) .看到这个，能联想到什么？
是的，就是费马小定理.

费马小定理的证明：

费马小定理在 \(p\) 为质数， \(a\) 不是 \(p\) 的倍数的情况下，满足：

\[a^{p-1}\equiv 1 (mod\ p) \]

证明：

引理：
设存在整数 \(m\) 且 \(m>1\) ,整数 \(b\) 且 \(gcd(m,b) = 1\),则若模 \(m\) 的完全剩余系为 \(\{a[1],a[2],...,a[m]\}\) ，
满足 \(\{b\cdot a[1],b\cdot a[2],...,b\cdot a[m]\}\) 也构成模 \(m\) 的完全剩余系.

证明：

假设存在两个整数 \(b\cdot a[i],b\cdot a[j]\) 同余，那么满足 \(a[i] \equiv a[j] (mod\ m)\).
但是与前面完全剩余系产生矛盾，所以不存在两个数 \(b\cdot a[i],b\cdot a[j]\) 同余.

• 先构造质数 \(p\) 的完全剩余系 \(P = \{1,2,...,p-1\}\).

• 因为 \(gcd(a,p) = 1\) 所以可得 \(A = \{a,2a,...,(p-1)a\}\).

• 由上文引理可得 \(1\times 2 \times 3 \times ...\times (p-1) \equiv a \cdot2a\cdot3a\cdot...\cdot(p-1)a\ (mod\ p)\)
  即 \((p-1)! \equiv (p-1)! \cdot a^{p-1} (mod\ p)\)

• 因为 \(gcd((p-1)!,p) = 1\),所以两边可以约去 \((p-1)!\) .

• 最终得到了 \(a^{p-1} \equiv 1 (mod\ p)\),证明完毕.

UVA1434-YAPTCHA:

题目大意：

给定 \(T(1\le T\le 10^3)\) 组数据，每组数据一个整数 \(n(1\le n\le10^6)\),求下面算式的结果并输出：

\[S_n=\sum^{n}_{k=1} \left [ \frac{(3k+6)!+1}{3k+7}-\left [ \frac{(3k+6)!}{3k+7} \right ] \right ] \]

这里的括号表示向下取整.

解法：

观察式子，发现其中有多个 \(3k+...\) 的结构，那么我们采用换元的方法，
设 \(3k+7\) 为 \(p\) 代入式子，式子变成了:

\[S_n=\sum^{n}_{k=1} \left [ \frac{(p-1)!+1}{p}-\left [ \frac{(p-1)!}{p} \right ] \right ] \]

既然本题无法直接计算，那么我们思考一些化简的情况:

当 \(p\) 为质数时，根据威尔逊定理，可将 \((p-1)!\) 分解为 \(p\cdot r + p-1\) 的形式。
再加一后，分子变成了 \(p\) 的倍数，那么第一个式子结果为 \(r+1\) 。第二个式子结果为 \(r + 1 - \frac{1}{p}\).
但由于向下取正的原因，所以结果应该为 \(r\) .那么整个式子最后结果为1.

当 \(p\) 为合数时，由于两者分子之间相差1,而大者分子并非 \(p\) 的倍数，所以相减后结果小于1,
向下取整后结果为0,最终结果为0.

所以本题的目的就很明确了，找出在n以内的所有质数，然后统计数量并输出.
可以通过线性筛先找出质数，在通过前缀和统计，复杂度为 \(O(1)\).

积性函数定义与约数和：

积性函数：对于两个互质的整数 \(p,q\), 满足函数 \(f(pq) = f(p) \cdot f(q)\) .

例子：设 \(\sigma(x)\) 表示 \(x\) 的约数和，那么存在 \(\sigma(pq) = \sigma(p) \cdot \sigma(q)\) .
假设一个数 \(x\) 可以被分解为多个质数的幂次相乘的形式 \(a_1^{b_1}a_2^{b_2}...a_y^{b^y}\). 那么x的约数和为:

\[\sigma(x) = (a_1^0 + a_1^1+...+a_1^{b_1})(a_2^0 + a_2^1+...+a_2^{b_2})...(a_y^0 + a_y^1+...+a_y^{b_y}) \]

由于两个数互质，所以不会拥有相同的质因子，在相乘的时候括号之间不会叠加。所以该例子成立.

感谢观看！