jr的数学の的奇妙冒险-2

本人数学有限，还请多多关照.qwq

1.多重集合：

定义：

在以往的集合中，相同的元素只能出现一次，而多重集合正如其名，一个元素可以出现多次，即：

\[S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}, 0≤ni≤+∞ \]

其中，总共有k种元素，分别为 \(a_1,a_2,...,a_k\),每个元素的个数分别为 \(n_1,n_2,...,n_k\).

常用公式&&例题：

例题1(多重集合的排列)：

把n个不同的物品放在t个不同的盒子中，要求i号盒子的物品数量为 \(a_i\),请问有多少种可能？

分析题目，可以将题面转换为多重集合的思想。

我们可以将t个不同的盒子看为t种不同的元素，\(a_i\) 则可以看为每种元素的数量.
而且，由于有n个元素，所以满足 \(a_i \ge 0,a_1+a_2+...+a_t = n\).

那么有多少种可能呢？如果不考虑有重复的元素，则为 \(n!\),因为 \(a_i\) 个相同的元素能衍生出 \(a_i!\) 种不同的结果，所以要除以这部分的方案数，结果为：

\[n!/a_1!a_2!...a_t! = n!/(a_1!a_2!...a_t!) = \frac{n!}{a_1!a_2!...a_t!} = \binom{n}{a_1,a_2,...,a_t} \]

如果你知道多项式定理的话，那么看到这，你应该猜到了，结尾的式子就是多项式系数.

那么我们就这样得到了第一个式子，对于一个有n个元素，t种元素，每种元素数量为 \(a_i\) 的多重集合，全排列为 \(\frac{n!}{a_1!a_2!...a_t!}\).

例题2：

对于一个有t种元素，每个元素都有无限个的多重集合.从中选r个元素构成一个多重集合，请问有多少种可能？

对于这种问题，我们将使用一种叫插板法的方式解决：

举个例子假设要选七个元素，三种元素，那么我们可以理解为在九个元素中，选两个的方案数.
为什么呢？因为有三种元素，所以七个元素要分三个区，也就是两块板。因为会有部分种类元素数量为零，
计算较为麻烦，所以我们代入进行计算。

那么这个时候，答案已在眼前，即为 \(C_9^2\)，那么根据例子，回到题目，我们可以推出答案为 \(C_{t+r-1}^{t-1}\).

注：如果每种元素数量有限，但是满足 \(r < a_i,\forall i \in [1,t]\),答案仍然为 \(C_{t+r-1}^{t-1}\).

例题3：

现在有n个数，要依次摆在一个圆上，请问有多少种摆法？

分析一下问题，因为是在圆上摆放，所以我们需要考虑过滤掉重复的情况.

举个例子，假设现在有一种情况为1,2,3,4，那么在圆排列上视为与其重复的有[4,1,2,3] , [3,4,1,2] , [2,3,4,1]这三种情况.
那么通过例子，得出了当有n个数字排列时的圆排列数量为 \(\frac{n!}{n} = (n - 1)!\).

2.鸽巢原理(抽屉原理):

抽屉原理，作为小学便出现在数学广角的知识，相信也很常见了，但是，在数学和OI界，想运用起来还是很难的.

定义：

第一抽屉原理:

原理一:多于n个的物品放在n个抽屉里，一定有一个抽屉至少有两个物品.

证明:假设原理一不成立，那么总数最多只能为n，与题目给予的数量不符，所以定理成立.

原理二:多于mn\((n \ge 1)\)+1个物品放在n个抽屉里，至少有一个抽屉不少于(m + 1)个物品.

证明:假设原理二不成立，那么数量最多只能为mn**，与题面不符，故定理成立.

定理三:把无数多件物品放进n个抽屉，至少有一个抽屉物品数量为无数个.

第二抽屉定理:

把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体.

例题：

例题1：m个整数 \(a_1,a_2,...,a_m\) ,证明存在一个区间 \(a_l,a_{l+1},...,a_r\) 之和能被m整除.

证明：
定义 \(r_i\) 为 \(a_0 + a_1+...+a_i\ mod\ m\) 的结果，其中定义 \(a_0\ = \ 0\)

对于m个整数，其 \(r_i\) 自然有(m+1)中情况，而 \(mod\ m\) 有m种情况.

根据鸽巢原理，必然存在至少两个 \(r_i\) 的结果相等.

即存在 \(a_0 + a_1+...+a_i \equiv a_0 + a_1 + ...+ a_j (mod\ m)\),且 \(i \ne j\).

根据同余定理，得出 \(a_{i+1} + a_{i + 2}+...+a_j \equiv (mod\ m)\).
证毕.

例题2：下象棋十一周，每天至少下一盘，每周不能超过十二盘.证明存在若干天，刚好下了21天.

证明:
由于十一周共有77天，所以我们定义七十七个前缀和 \(a_1,a_2,...a_{77}\) (\(a_i\) 表示前i共下棋盘数).

因为每周不能下超过十二盘，所以保证 \(1 \le a_1 < a_2 < a_3 <... < a_{77} \le 132\) .

根据不等式的性质，如果将最左变为22，那么将变为 \(22 \le a_1 + 21 < a_2 + 21 < a_3 + 21 < ... < a_{77} + 21 \le 153\) .

定义 \(b_i = a_i + 21\).则 \(\left \{ a_1,a_2,...,a_{77},b_1,b_2,...,b_{77} \right \}\) 总共有154个元素.

根据抽屉原理，至少存在一对 \(a_i = b_j\).

因为 \(a_i = b_j\)，所以 \(b_j = a_j + 21 = a_i\).

所以第j天到第i天刚好下了21盘.
证毕.

谢谢观看！qwq.