Acwing-197. 阶乘分解

本蒟蒻的第一篇题解，还请多多点评qwq.

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Part1:

看到这道题的第一眼，你想到了什么？

Part1.1-思路

将一个数进行质因数分解，复杂度是多少？如果我们分两种最好最坏的情况来讨论，
那分别应该是 \(O(logN)\) 和 \(O(N)\) 的。为什么？对于一个数，如果他是二的幂次，
那么在枚举到质因子 2 时，程序就已经可以宣布 去世 结束了。

反之，如果 \(N\) 是一个质数，那么程序枚举就会一直枚举到 \(N\) 时，才会结束。

所以，这个解法就是正解了吗？就...一个一个数分解就过了？

Part1.2-证明

分两种情况讨论。第一种，假设所有的数分解都需要 \(O(N)\) 的复杂度，
那么总共的时间就变化为了 \(O(\sum_{i = 1}^{i \le N}i)\) .凡是拿过计算器的都知道这
肯定会TLE的.那么 \(O(logN)\) 呢？虽然 \(O(NlogN)\) 可以勉强通过，但
事实上，并不是所有的数分解的复杂度都是 \(O(logN)\) 的。

结合以上证明，我们能很明确地确定这种解法是无解的。

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Part2正解&代码:

在讲正解前，先看一段表格：

\(N!\)	拆出多少个 \(2^1\)	\(2^2\)	\(2^3\)	\(2^4\)
10	5个	2个	1个	0个
30	15个	7个	3个	1个

看完这个表格，你有什么启发？

• 7 = 30 / 4 = 30 / \(2^2\).

• 15 = 30 / 2 = 30 / \(2^1\).

• 3 = 30 / 8 = 30 / \(2^3\).

对于一个质因子 \(i\) ,他在对 \(N!\) 进行质因数分解时出现的个数为：

\[\sum_{j = 1}^{\infty} N/i^j \]

不过要枚举到无穷是不可能的，所以当 \(N/i^j\) 等于0时，就应停止循环.

那么现在，搞定了单个质因子，如何确认有哪些质因子呢？
换句话说，如何确认有哪些质数呢？

很简单，利用质数筛法即可。用埃氏筛法或线性筛都可以，因为 \(N\) 只有 \(10^6\),所以没有任何问题。
所以，将 \(N!\) 进行质因数分解，输出每一个质因子分解的个数，公式为：

\[\sum_{i \in P}^{i \le N}\sum_{j = 1}^{i ^ j \le N} N / i ^ j \]

其中， \(P\) 为质数集合(prime).

结合以上结论，亮出最终的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,prime[1000005],num,cnt;
bool n_prime[1000005];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);//加快输入速度
    cin >> n;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        if(!n_prime[i]){prime[num] = i;num++;}
        for(int j = 0;j < num;j++){
            if(prime[j] * i > n) break;//以免筛的过程中越界
            n_prime[prime[j] * i] = true;
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    for(int i = 0;i < num && prime[i] <= n;i++){
        cnt = 0;
        for(int j = 1;pow(prime[i],j) <= n;j++){
            cnt += n / pow(prime[i],j);
        }
        if(!cnt) break;
        cout<<prime[i]<<" "<<cnt<<'\n';
    }
  //有关质数筛法的进一步了解，可以去看“http://oiwiki.com/math/number-theory/sieve/”这个网址.
    return 0; 
}

小蒟蒻第一次写题解，点个关注吧qwq,谢谢！