计算几何基础（学习中）

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（国服挺住啊Q^Q）

计算几何基础
    基本运算
        基础类
        点积
        叉积
    线
        直线与线段的表示
        直线求交
        线段判交
    多边形
        求多边形的重心
        判定点在多边形内
        求多边形的面积
    常用算法
        凸包
        半平面交

基本运算

基础类

struct Vec{//既可以存点，也可以存向量
    double x, y;
    double len(){
        return sqrt (x * x + y * y);
    }
};
Vec operator+(const Vec &a, const Vec &b){
    Vec c;
    c.x = a.x + b.x, c.y = a.y + b.y;
    return c;
}
Vec operator-(const Vec &a, const Vec &b){
    Vec c;
    c.x = a.x - b.x, c.y = a.y - b.y;
    return c;
}
Vec operator*(double s, const Vec &a){
    Vec c;
    c.x = a.x * s, c.y = a.y * s;
    return c;
}
Vec operator/(const Vec &a, double s){
    Vec c;
    c.x = a.x / s, c.y = a.y / s;
    return c;
}

点积

正负：正，夹角小于90° 负，夹角大于90°

double dot(const vec &x, const vec &s){
    return r.x * s.x + r.y * s.y;
}

叉积

几何意义：两向量所形成的平行四边形的面积
正负：正，→y在→x左边 负，右边

double cross(const vec &x, const vec &y){
    return r.x * s.y - r.y * s.x;
}

点积与叉积结合起来，可以判断两向量的位置（指如图）关系

      |
      |
--------------
      |
      |

线

直线与线段的表示

直线：一个其上的点P，及方向向量→u来表示
线段：1、两个端点 2、一个端点，一个向量（准确指向另一端点）

直线求交

两个直线(P,→u),(Q,→v)，可知交点S=P+t*→u。求出t可用等面积法

vec line_intersect(point P, vec u, point Q, vec v){
    double t = cross(Q - P, v) / cross(u, v);
    return P + u * t;
}

图片很直观吧【滑稽
至于正负问题，讨论一下就发现没问题了。但是要千万记得顺序，可以用图来辅助记忆

线段判交

跨立实验

bool seg_intersect (Point A, Point B, Point C, Point D) {
    double c1 = cross(Line(A,B),Line(A,C)), c2 = cross(Line(A,B),Line(A,D));
    double c3 = cross(Line(C,D),Line(C,A)), c4 = cross(Line(C,D),Line(C,B));
    return sign(c1) * sign(c2) < 0 && sign(c3) * sign(c4) < 0;
}

这里主要运用了叉积判断左右的性质。我们可以感性的理解到，若线段相交，自己的端点肯定在对方的两侧，不相交则至少有一个不满足。

多边形

求多边形的重心

我们需要两个基础
1、三角形的重心求法（数学课上学过啦）
2、(∑→v * m0)/M (找一个点为原点，则多边形内每一个点都有一个向量和质量）
感性理解一下，我们可以通过分治的思想，发现已知图形两个部分的重心和质量（面积）→P1、S1和→P2、S2，则→P=（→P1 * S1 + →P2 * S2）/(S1+S2)

因为任意一个多边形可以拆分成若干个三角形，所以根据以上两个基础就可以进行两两合并知道求出重心为止。

判定点在多边形内

如果一个点在多边形内，从这个点拉一条射线出去，必定会穿过边。然而点不在多边形内，也有可能穿过边，但是它必定还会穿出去，所以经过的边数必为偶数，在内部的必为奇数。
这里把模型稍微改一下。我们给多边形的每一条边一个方向，统一顺时针或逆时针（存的时候就是有方向的啊）。向上+1，向下-1（反之也行）
看代码理解一下

bool point_on_line (const Point &p, const Point &A, const Point &B) {
    return sign(cross(B-A, p-A)) == 0 && sign(dot(A-p,B-p)) <= 0;
}
bool in_polygon (const Point &p, const vector<Point> &poly) {
    int n = (int)poly.size();
    int counter = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
    Point a = poly[i], b = poly[(i + 1) % n];
    if (point_on_line (p, a, b)) return true; // bounded included
    int x = sign(cross(p - a, b - a));
    int y = sign(a.y - p.y);
    int z = sign(b.y - p.y);
    if (x > 0 && y <= 0 && z > 0) counter++;
    if (x < 0 && z <= 0 && y > 0) counter--;
}
    return counter != 0;
}

画图理解一下就记住了，画图现推也行

求多边形的面积

主要利用了叉积的几何意义及正负

很直观吧

double area(const vector<Point> &poly) {
    double rt = 0.0;
    int n = (int)poly.size();
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        rt += cross(poly[i], poly[(i+1)%n]);
    }
    return fabs(rt / 2.0);
}

常用算法

凸包

凸包的定义：将一堆点包括进去的最小的凸多边形
求凸包：模拟绳子绕钉子的模型

void get_convex(){
    sort(point + 1, point + cntp + 1, cmp);
    for(int i = 1; i <= cntp; i++){
        while(top > 1 && (cross(point[i] - stack[top-1], stack[top] - stack[top-1]) > 0))
            top--;
        stack[++top] = point[i];
    }
    int tmp = top;
    for(int i = cntp-1; i >= 1; i--){
        while(top > tmp && (cross(point[i] - stack[top], stack[top] - stack[top-1]) > 0))
            top--;
        stack[++top]=point[i];
    }
    if(cntp > 1) top--;
}

半平面交

（还在学习中。。。）