形式幂级数实用方法

既然是实用，本篇文章不包含以 FFT 为核心的多项式技术。

要使用形式幂级数解决问题，我们最关心的无非三点：

1. 怎么用形式幂级数描述问题。
2. 怎么用形式幂级数推导。
3. 怎么从形式幂级数中得到答案。

其中第一点，有组合问题符号化方法来帮助我们，所以暂时不讨论（其实是我还没学会）。

第二点，主要利用的是卷积的性质列出方程，然后解方程，这里大多可以手算，手算不行的还是考虑 FFT 吧。

第三点。所谓从形式幂级数中得到答案，就是算出其系数，而这又分两种情况：

1. 算出前 \(n\) 项系数。
2. 算出远处 \(1\) 项系数。

我们有不用 FFT 的方法来做这两类问题，遗憾的是这两类问题大多都可以使用 FFT 做到更优。

对于第一类问题，我们有 \(O(n^2)\) 递推的多项式卷积、求逆、\(\exp\)、\(\ln\)。

对于第二类问题，又分几类问题：

0. 可以直接展开的情况。
1. 有理分式的情况。
2. 其他情况。

第零类问题，直接展开就好了。

第一类问题，可以使用部分分式法直接求出通项，然后使用快速幂。如果不想这么搞可以写一个矩阵快速幂，因为有理分式的系数是一个线性递推数列，阶数为分母多项式的阶。

第二类问题，可以尝试使用拉格朗日反演来解决，看看能不能变成第一类问题。

好吧上面说的那些东西都是泛泛而谈，下面详细来讲解一下。

首先需要介绍一些经常用到的记号数学工具。

常用记号

• \([z^n]F(z)\)：提取 \(F(z)\) 的 \(z^n\) 项系数。
• \(\binom{n}{m}\)：二项式系数。
• \(n^{\underline{m}}\)：下降幂。
• \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x)\)：对 \(F(x)\) 关于 \(x\) 求导。又写作 \(F^{'}(x)\)
• \(\int F(x)\mathrm{d}x\)：对 \(F(x)\) 关于 \(x\) 不定积分。

部分分式法

给定一个有理分式 \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\)，将其分解为一些较简分式的和。

方法自己上网搜。

二项式系数

\(n\) 个物品里选 \(m\) 个的方案数：

\[\binom{n}{m}=[z^m](1+z)^n=n^{\underline{m}} \]

为什么是这个呢，考虑乘法原理，相当于每一项可以选 \(1\) 或者 \(z\)，提取 \(z^m\) 系数就相当于算有多少种方法选了 \(m\) 个 \(z\)。

这里就懒得讲那些公式了。

广义二项式系数：

\[\binom{\alpha}{m}=[z^m](1+z)^{\alpha}=\alpha^{\underline{m}} \]

其中 \(\alpha\in\mathbb{R}\)。

证明用数学分析相关知识搞一下，我也没学过我就不误人子弟了。

超几何级数

还没搞。

形式幂级数初步

一个形式幂级数有两种形态，封闭形式和展开形式。

从封闭形式变成展开形式就是在 \(0\) 处的泰勒展开。

从展开形式变成封闭形式需要动点脑子。其实你背背这个表就行：

封闭形式	展开形式
有限项的多项式	有限项的多项式
\(\frac{1}{1-cz}\)	\(\sum_{i=0}^{\infin}z^ic^i\)
\((1+z)^m\)	\(\sum_{i=0}^{\infin}z^i\binom{m}{i}\)
\(\frac{1}{(1-z)^{m}}\)	\(\sum_{i=0}^{\infin}z^i\binom{m+i-1}{m}\)
\(\ln\frac{1}{1-z}\)	\(\sum_{i=0}^{\infin}z^i\frac{1}{i}\)
\(e^z\)	\(\sum_{i=0}^{\infin}z^i\frac{1}{i!}\)

现在我们来定义形式幂级数的各种运算。

加减乘，求导积分，复合，直接把形式幂级数当做多项式做就行，两个形式幂级数做这些运算之后还是形式幂级数。容易验证求导积分的那些方法在形式幂级数中仍然生效。

除法呢？这相当于我们在探讨一个形式幂级数有乘法逆的充要条件。

如果说 \(F\) 存在乘法逆 \(G\)，那么就是说：

\[FG=1 \]

两边提取 \(z^n\) 系数：

\[\begin{aligned} [z^n]FG&=[n=0]\\ \sum_{i=0}^n[z^{n-i}]F\times [z^i]G&=[n=0] \end{aligned} \]

考察我们该怎么算出来 \(G\) 的 \(n\) 次系数。根据上面的式子，如果我们知道了 \(G\) 的前 \(n-1\) 次系数，配合 \(F\) 的系数就能递推出 \([z^n]G\)。唯一的坑点在于求 \([z^0]G\) 时，如果 \([z^0]F=0\)，那么不存在一个数 \(x\) 使得 \(0\times x=1\)，所以也就不存在这样的 \(G\)。

综上所述，如果 \([z^0]F\neq 0\)，那么 \(F\) 存在乘法逆，否则不存在。

然而我们还可以对形式幂级数求 \(\exp\) 和 \(\ln\)，不过这都是后话了。

有理分式与线性递推

现在我们来探讨一类重要的形式幂级数：有理分式。

所谓有理分式就是 \(\frac{P(z)}{Q(z)}\)，其中 \(P,Q\) 为多项式。

我们可以将其看做 \(P(z)\) 与 \(Q(z)\) 的乘法逆的卷积，于是使用朴素多项式求逆和卷积可以做到 \(O(n^2)\) 求出前 \(n\) 项系数。

现在我们要快速求出远处一项系数 \([z^n]\frac{P(z)}{Q(z)}\) 呢？不妨还是先求出 \(\frac{1}{Q(z)}\) 的后 \(n-\deg P\sim n\) 项系数，再与 \(P(z)\) 进行卷积求出 \([z^n]\) 系数。

考察上面我们刚推的多项式求逆递推式，发现其递推阶数是 \(\deg Q\) 量级。于是可以矩阵乘法加速递推做到 \(O(\max\{\deg P,\deg Q\}^3\log n)\) 求远处一项系数。

更进一步地，使用部分分式法分解 \(\frac{1}{Q(z)}\)，然后给每一项提取系数可以直接求出通项。

拓展学习：BM 递推，可以在 \(O(\deg \log\deg\log n)\) 的时间内求出一项系数。