今日份鲜花

发现欧几里得算法很有意思，遂写。

1. 最大公因数

最经典的当然还是欧几里得算法求最大公因数。

所求无非 \(\max\limits_{d|a,d|b} d\)，有 \(d|a,d|b \implies d|b-a,d|a+b\)，故 \(d|a,d|b \iff d|a,d|b-a\)，所以有 \(gcd(a,b)=gcd(a,b-a)\)，则可通过辗转相减得到欧几里得算法。

时间复杂度是多少呢，最坏 \(O(\log n)\)，可构造斐波那契相邻两项卡到极大值，随机数据下较快，常数主要在取模。

拓展

还有一个叫 binary-gcd 的方法，可自行参考。

2. 求矩阵行列式

其实是求行列式模一个合数的方便快速的方法。

行列式显然可以在 \(O(n^3)\) 的复杂度内计算，高斯消元即可，但模数为合数可能不存在逆元，一般有高精度暴力和CRT拆分两种方式，都十分麻烦。

由于这个实在太简单且没有用所以不放了，丢个链接。

3. 做 Pell 方程

还不会，咕咕咕~

4. 类欧几里得

考虑经典式子 \(\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor\)。

把它看成一条直线下数点即可