[总结] 容斥原理
[总结] 容斥原理
本篇文章用于介绍简单的容斥原理。
定义
- 加上多减的，减去多加的。（可以画 Venn 图来理解）
适用条件
一般套路如下：
- 总方案数容易求得。
- 把 每个集合看成打破 \(|S|\) 条限制的非法方案集合，最后求得的 \(|\bigcup_{i=1}^nS_i|\) 的意义就是 所有非法方案总数。
- 一般可以通过 等价转化 将容斥过程中的方案数计算出来。
- 数据范围较小的数数题（允许状压）。
我们把每一条限制看成集合元素，枚举每一个集合，因为最后是减去不合法方案，所以容斥系数全部由 \((-1)^{|S|-1}\) 变为 \((-1)^{|S|}\)。
其中 \(|S_1 \cup S_2|\) 就等价于打破 \(S_1\) 和 \(S_2\) 至少一个的方案数，\(|S_1 \cap S_2|\) 表示打破 \(S_1\) 和 \(S_2\) 所有限制的方案数。
由于容斥过程中是求 \(∩\)，所以考虑第二种。
换句话说就是 枚举所有条件集合，这就相当于 枚举了所有相交后的集合。
例题
[HAOI2008]硬币购物
给你四种面值 \(c_i\) 的硬币，每种硬币有无限个，求得在限制每种硬币使用个数 \(d_i\) 的前提下凑成 \(s\) 价值的方案数。
先考虑没有限制，跑一遍完全背包即可，可以得到总方案数。
考虑打破限制的情况：
当前集合为 \(S\)，有第 \(i\) 条限制，那么我就强制选 \((d_i+1)\times c_i\) 的第 \(i\) 种硬币即可。
这体现了上面说的：一般可以通过等价转化将容斥过程中的方案数计算出来。
注意：容斥过程中也许并不一定算出总方案数，因为这就是 \(S=0\) 的情况。
对于集合 \(S\) 中的元素，是强制打破，其它条件随意。
比较板的容斥。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
template <typename T>
inline T read(){
T x=0;char ch=getchar();bool fl=false;
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')fl=true;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){
x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
}
return fl?-x:x;
}
#define LL long long
const int maxn = 1e5 + 10;
LL f[maxn];
LL val[10],d[10],q,s;
void init(){
f[0]=1;
for(int i=1;i<=4;i++)
for(int j=val[i];j<=100000;j++)f[j]+=f[j-val[i]];
}
#define read() read<LL>()
int main(){
for(int i=1;i<=4;i++)val[i]=read();q=read();
init();
while(q--){
for(int i=1;i<=4;i++)d[i]=read();
s=read();
LL ans=0;
for(int S=0;S<(1<<4);S++){
LL sz=0,fl,sum=0;
for(int i=0;i<4;i++)if((S>>i)&1){
sz++;sum+=(d[i+1]+1)*val[i+1];
}
if(s<sum)continue;
fl=((sz&1)?(-1):1);
ans+=fl*f[s-sum];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
CF451E Devu and Flowers
多重集的组合数。（早期代码）
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int P = 1000000007;
const int maxn = 22;
LL m,a[maxn],ans=0;
LL inv[maxn],n;
LL power(LL a,LL b){
LL res=1;
while(b){
if(b&1)res=res*1LL*a%P;
a=1LL*a*a%P;
b>>=1;
}
return res;
}
LL C(LL n,LL m){
if(n<0 || m<0 || n<m)return 0;
n%=P;
if(n==0 || m==0)return 1LL;
LL res=1;
for(int i=0;i<m;i++)res=res*(n-i)%P;
for(int i=1;i<=m;i++)res=res*inv[i]%P;
return res;
}
void init(){
for(int i=1;i<=20;i++)inv[i]=power(i,P-2);
return ;
}
int main(){
init();
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",a+i);
for(int s=0;s<(1<<n);s++){
if(s==0){
ans=(ans+C(n+m-1,n-1))%P;
//cerr<<ans<<endl;
}
else{
LL tmp=n+m;
int p=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(s&(1<<i-1)){
p++;
tmp-=a[i];
}
}
tmp-=p+1;
if(p&1){
ans=(ans-C(tmp,n-1))%P;
}
else{
ans=(ans+C(tmp,n-1))%P;
}
}
}
printf("%lld",(ans+P)%P);
return 0;
}
【2018.10雅礼集训day7】Silhouette
从递推的角度理解容斥原理
给定一个 \(n\times n\) 的网格图，每一列和每一行都有最大值是多少的限制，求填数的方案数。
首先可以对行和列分开考虑，划分为每一块最大值都相同的区域，设这个最大值为 \(w\) 。
对行和列分开排序，这样做的好处有两个：
- 线性找到需要的最大值相同的区域。
- 其上面和左面的所有区域可以“随便填”。
随便填的意思是：不超过当前最大值的数都可以填，不需要考虑其它影响。
考虑当前的矩形：
设 \(f_i\) 表示 \(a\) 列中有 \(i\) 列是强制不合法的，其它列随意。
那么首先需要满足 \(b\) 行的限制，然后 \(lb\) 上半边、\(i\) 左半边是可以随意选的，\(i\) 右半边因为要强制不合法，所以只能选 \([0,w-1]\) 之间的 \(w\) 个数。
int calc(int a,int b,int la,int lb,int w){
int res=0;
for(int i=0;i<=a;i++){
int tmp=power(power(w+1,la+a-i)-power(w,la+a-i)+P,b);
tmp=1LL*tmp*power(w+1,1LL*lb*(a-i))%P;
tmp=1LL*tmp*power(w,1LL*(lb+b)*i)%P;
int inv=1LL*invfac[i]*invfac[a-i]%P;
tmp=1LL*tmp*inv;
if(i&1)res=(res-tmp+P)%P;
else res=(res+tmp)%P;
}
res=1LL*res*fac[a]%P;
return res;
}
细节部分
- 本题容斥的实现
\(f_i\) 的下标就表明了状态 \(S\) 的 \(size\)，或者说，可以通过组合数、递推等手段实现 \(S\) 的非暴力枚举，实现同一类 \(S\) 的求解。
- "随意“的意义
随意是不能超过当前全集 \(S\) 的。
因此在填数的时候，对于当前的一块矩阵，最多只能填到 \(w\) 的数值。
也就是说，不要混淆了研究对象。
- 选择区域的界限
对当前有影响的、合法的、全集 \(U\) 中的区域才是需要考虑到的。
或者说仅仅关心的是当前矩形填充情况，下面的矩形区域不需要考虑。
