线性变换的矩阵表示

千里之行始于足下，重视基础才是本质。
在矩阵论中提到的线性变换是一个相对抽象的概念，先给出相关定义

定义：
设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使对任意向量\(x\in V\)，V中都有唯一的向量y与之对应，则称T是V的一个变换或者算子，记\(Tx=y\)，称y为x在T下的象，而x是y的原象（象源）

这个T类似于数学分析中的函数\(y=f(x)\)，不过那里是数量函数，这里是向量函数。如果变换T满足一定的线性变换要求\(T(kx+ly)=kT(x)+lk(y)\)，则T为V的一个线性变换。
概念类比到数量函数，线性变换T的也是很好理解的。但是在具体计算过程中，我们怎么把抽象的概念具体化？这就涉及到线性变换的矩阵表示。从定义入手的话，如果需要确定线性变换T，则需要找到V中所有向量在T下的象。事实上不需要这么麻烦的。V中所有向量都可以由V的基向量组\((x_1,x_2,……,x_n)\)线性表示，加上T是V的线性变换，则V中所有象都可以由基象组(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)线性表示。

设T是线性空间\(V^n\)的线性变换，\(x\in V^n\),且\(x_1, x_2, ……,x_n\)是\(V^n\)的一个基，则
\(x=a_1x_1+a_2x_2+……+a_nx_n\)
\(Tx=a_1(Tx_1)+a_2(Tx_2)+……+a_nT(x_n)\)
令

\[\begin{cases} Tx_1=a_{11}x_1+a_{21}x_2+……+a_{n1}x_n \\ Tx_2=a_{12}x_1+a_{22}x_2+……+a_{n2}x_n \\ ……\\ Tx_n=a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+……+a_{nn}x_n \end{cases}\]

在处理具体问题时，采用矩阵乘法的形式表示上述公式组：
\(T(x_1,x_2,……,x_n)=(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)=(x_1,x_2,……,x_n)A\)
这个A称为线性变换T在\(V^n\)的基\(x_1,x_2,……,x_n\)下的矩阵，简称A为T的矩阵。
在处理题目时这一点经常牵扯到逆矩阵运算，也就是\(A=(x_1,x_2,……,x_n)^{-1}(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)\)（\(Tx_i\)是对第i个基向量施加线性变换，这个线性变换会提前给出，注意运算正确性）
相同的线性变换T，在一个基向量组\((x_1,x_2,……,x_n)\)下有一个矩阵A，在另一个基向量组\((y_1,y_2,……,y_n)\)下可能就有另一个矩阵B。问题如下：

\[\begin{cases} T(x_1,x_2,……,x_n)=(x_1,x_2,……,x_n)A \\ T(y_1,y_2,……,y_n)=(y_1,y_2,……,y_n)B \\ \end{cases}\]

解决思路无外乎两种：1、分别计算，简单粗暴；2、如果容易得到矩阵A，则可以通过基向量组之间的联系建立起A和B的关系。比如已知矩阵A和\((y_1,y_2,……,y_n)=(x_1,x_2,……,x_n)C\)，则\(T(y_1,y_2,……,y_n)=T(x_1,x_2,……,x_n)C=(x_1,x_2,……,x_n)AC=(y_1,y_2,……,y_n)B=(x_1,x_2,……,x_n)CB\)，也就是\(B=C^{-1}AC\)。