SDOI2017 遗忘的集合
题目描述：
题解：
生成函数+多项式ln（+反演？）
首先如果我们已知$S$，那$S$中$i$的生成函数就是$1+x^i+x^{2i}+……$。
整理一下就是$ \frac{1} {1-x^i}$。
所以设$S$的生成函数为$F(x)$，则$F(x)= \prod _{i \in S} \frac{1}{1-x^i} $
由于我们并不知道有哪些是答案，我们可以引入一个系数$a_i \in {0,1}$，表示数$i$不取/取。
所以$F(x) = \prod_{i \ge 1}(\frac{1}{1-x^i})^{a_i}$
其实都明白$i$是有上界的，因为整个式子都是模$x^{n+1}$，所以上界为$n$。
然后对上式取负对数，得$-ln(F(x)) = \sum_{i \ge 1} a_i * ln(1-x^i)$。
同时$ln(1-x^i)=\sum_{j \ge 1}- \frac{x^{ij}}{j}$
然后左右去掉负号，得$ln(F(x)) = \sum_{i \ge 1} a_i \sum_{j \ge 1} \frac{x^{ij}}{j}$
把带$x$的提前，得$ln(F(x)) = \sum_{T \ge 1}x^T \sum_{i | T} \frac{i*a_i}{T}$
所以把$F(x)$取个$ln$，然后系数就可以$O(nlnn)$筛出了。
代码：
#include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int N = (1<<21)+50; const int M = 32768; const long double Pi = acos(-1.0); template<typename T> inline void read(T&x) { T f = 1,c = 0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();} x = f*c; } int n,MOD; void Mod(int&x){if(x>=MOD)x-=MOD;} int fastpow(int x,int y) { int ret = 1; while(y) { if(y&1)ret=1ll*ret*x%MOD; x=1ll*x*x%MOD;y>>=1; } return ret; } struct cp { long double x,y; cp(){} cp(long double x,long double y):x(x),y(y){} cp operator + (const cp&a)const{return cp(x+a.x,y+a.y);} cp operator - (const cp&a)const{return cp(x-a.x,y-a.y);} cp operator * (const cp&a)const{return cp(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);} }; int to[N],lim,LL[N],L; void fft(cp*a,int len,int k) { for(int i=0;i<len;++i) if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]); for(int i=1;i<len;i<<=1) { cp w0(cos(Pi/i),k*sin(Pi/i)); for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)) { cp w(1,0); for(int o=0;o<i;o++,w=w*w0) { cp w1 = a[j+o],w2 = w*a[j+o+i]; a[j+o] = w1+w2; a[j+o+i] = w1-w2; } } } if(k==-1) for(int i=0;i<len;++i)a[i].x/=len,a[i].y/=len; } cp a[N],b[N],c[N],d[N]; void get_lim(int len) { // lim = 1,L = 0; // while(lim<=len)lim<<=1,L++; lim = len;L=LL[len]; for(int i=1;i<lim;++i)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1))); } void mtt(int*F,int*G,int*H,int len) { get_lim(len<<1); for(register int i=0;i<lim;++i)a[i]=b[i]=cp(0,0); for(register int i=0;i<len;++i) a[i]=cp(F[i]&(M-1),F[i]>>15),b[i]=cp(G[i]&(M-1),G[i]>>15); fft(a,lim,1),fft(b,lim,1); for(register int i=0;i<lim;++i) { int j = (lim-i)&(lim-1); c[j]=cp(0.5*(a[i].x+a[j].x),0.5*(a[i].y-a[j].y))*b[i]; d[j]=cp(0.5*(a[i].y+a[j].y),0.5*(a[j].x-a[i].x))*b[i]; } fft(c,lim,1),fft(d,lim,1); for(register int i=0;i<lim;++i) { int kaa = (ll)(c[i].x/lim+0.5)%MOD; int kab = (ll)(c[i].y/lim+0.5)%MOD; int kba = (ll)(d[i].x/lim+0.5)%MOD; int kbb = (ll)(d[i].y/lim+0.5)%MOD; Mod(H[i] = ((ll)kaa+((ll)(kab+kba)<<15)%MOD+((ll)kbb<<30)%MOD)%MOD+MOD); } } int H[N],ny[N],T[N]; void get_inv(int len,int*F,int*G) { if(len==1){G[0]=fastpow(F[0],MOD-2);return ;} get_inv(len>>1,F,G),mtt(G,G,T,len>>1),mtt(T,F,H,len); for(register int i=0;i<len;++i)Mod(G[i]=G[i]*2%MOD-H[i]+MOD); } void up(int*a,int len) { for(register int i=1;i<len;++i)a[i-1]=1ll*a[i]*i%MOD; a[len-1] = 0; } void down(int*a,int len) { for(register int i=len-1;i;--i)a[i]=1ll*a[i-1]*ny[i]%MOD; a[0]=0; } void get_ln(int len,int*F,int*G) { get_inv(len,F,G);up(F,len); mtt(F,G,G,len); down(G,len); } int F[N],G[N]; int main() { read(n),read(MOD);F[0]=1; lim=LL[2]=1;while(lim<=n)lim<<=1,LL[lim<<1]=LL[lim]+1; ny[1]=1; for(register int i=2;i<(lim<<1);++i)ny[i]=1ll*(MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD; for(register int i=1;i<=n;++i) read(F[i]),F[i]%=MOD; get_ln(lim,F,G); int cnt = 0; for(register int i=1;i<=n;++i)G[i]=1ll*G[i]*i%MOD; for(register int i=1;i<=n;++i) for(register int j=i+i;j<=n;j+=i)Mod(G[j]+=MOD-G[i]); for(register int i=1;i<=n;++i)if(G[i])cnt++; printf("%d\n",cnt); for(register int i=1;i<=n;++i) if(G[i])printf("%d ",i); puts(""); return 0; }
（我还重新学了一遍MTT）
