BZOJ 2442 [Usaco2011 Open]修剪草坪：单调队列优化dp

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2442

题意：

　　有n个数a[i]从左到右排成一排。

　　你可以任意选数，但是连续的数不能超过k个。

　　问你最大的选数之和。

 

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i]表示考虑了第i个数的最大之和。

　　

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n]

　　　　将所有的数都考虑过了

 

　　如何转移：

　　　　对于a[i]，要么选，要么不选。

　　　　（1）如果不选，则dp[i] = max dp[i-1]。

　　　　（2）如果选，则最多往前选k个数，且在i-k的位置一定不能选。

　　　　　　所以：

　　　　　　　　dp[i] = max dp[j] + sum(j+2,i)　(i-k-1 <= j <= i-2)

　　　　　　变成前缀和的形式：

　　　　　　　　dp[i] = max dp[j] + sum[i] - sum[j+1]

　　　　　　也就是：

　　　　　　　　dp[i] = max(dp[j] - sum[j+1]) + sum[i]

　　　　　　对于dp[j] - sum[j+1]这一部分，可以用单调队列优化。

 

　　边界条件：

　　　　dp[0] = 0

　　　　q[head++] = Node(-1,0)

　　　　-1为假想的位置，只是为了在n == 1的时候能够用到0这个值。

 

AC Code:

// state expression:
// dp[i] = max efficiency
// i: selected ith cow
//
// find the answer:
// max dp[n]
//
// transferring:
// dp[i] = max(dp[j] + sum(j+2,i), dp[i-1])
// dp[i] = max(dp[j] + sum[i] - sum[j+1], dp[i-1])
// dp[i] = max(dp[j] - sum[j+1] + sum[i], dp[i-1])
// i-k-1 <= j <= i-2
//
// boundary:
// dp[0] = 0
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 100005

using namespace std;

struct Node
{
    int idx;
    long long val;
    Node(int _idx,long long _val)
    {
        idx=_idx;
        val=_val;
    }
    Node(){}
};

int n,k;
int head=0;
int tail=0;
int e[MAX_N];
long long dp[MAX_N];
long long sum[MAX_N];
Node q[MAX_N];

void read()
{
    cin>>n>>k;
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>e[i];
        sum[i]=sum[i-1]+e[i];
    }
}

void solve()
{
    dp[0]=0;
    q[tail++]=Node(-1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i>=2)
        {
            while(head<tail && q[tail-1].val<dp[i-2]-sum[i-1]) tail--;
            q[tail++]=Node(i-2,dp[i-2]-sum[i-1]);
        }
        while(head<tail && q[head].idx<i-k-1) head++;
        dp[i]=max(q[head].val+sum[i],dp[i-1]);
    }
}

void print()
{
    cout<<dp[n]<<endl;
}

int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}