新高一暑假第一期集训恢复性训练【DP版块】（补）

新高一暑假第一期集训恢复性训练【DP版块】（补）

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A. [CEOI2017] MUSEUM

树形 dp。

设 \(f_{i, j},g_{i, j}\) 表示以 \(i\) 为根的子树中，访问了 \(j\) 个点，回到 \(i\) 和不必回到 \(i\) 的代价。

转移的时候做类似于背包一样的东西。

时间复杂度 \(\Theta(n^2)\)。

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B. [ABC207F] Tree Patrolling

设 \(f_{i, j, 0/1/2}\) 分别表示以 \(i\) 为根的子树保护了 \(j\) 个点的方案数，未放置自己，且没被子节点保护；未放置自己，但被子节点保护；放置了自己 这三种情况。

转移从所有子节点的状态转移过来比较好想。然后主要有一点就是会存在增加新节点的情况。

1. 自己没有放置，但是被子节点覆盖了。
2. 子节点没有放置，但是被父节点覆盖了。

转移是树型背包。理论上时间复杂度为 \(\Theta(n^3)\)。

优化：

1. 动态维护 \(size\)，这样就可以保证每对点都在 LCA 处合并了一次 \(\rightarrow\) \(\Theta(n\log n)\)。
2. 为了去除重复记录方案的情况，每次转移开个空数组记录答案。

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C. [Atcoder dpV] Subtree

换根 dp。

设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树，\(i\) 为黑色的合法方案数。（全局是以 \(1\) 为根的）

则有 \(\displaystyle f_u = \prod\limits_{v\in son_u} (f_v + 1)\)，加 \(1\) 是整棵子树全为白色的方案数。

设 \(g_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树，\(i\) 为黑色的方案数。（这里的子树代指的是 \(i\) 的祖先以及兄弟，即去掉 \(i\) 原来子树的剩余部分）

答案为 \(f_i \times g_i\)。考虑如何求出 \(g_i\)。

对于一对父子关系 \(\displaystyle f_u = \prod (f_{son} + 1)\)，其中就有儿子提供的一个贡献 \(f_v + 1\)，我们需要去掉。

于是得出：\(\displaystyle g_v = g_u \times \frac{\prod (f_{son} + 1)}{f_v + 1}\)。

但是模数不保证是质数，所以不能求逆元。

我们可以对于每个 \(u\) 维护出儿子贡献 \(\prod (f_v + 1)\) 的前缀积以及后缀积。只要知道某个儿子在其儿子中的便后即可。