位运算

位运算

位运算

1、用途

广泛用于加快枚举速度以及实现各种黑科技

2、原理

几个基本操作：与(&)、或(|)、非(~)、异或(^)、左移(<<)、右移(>>)。

\[\begin{array} {c|cc} \text{&} & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{array} \]

\[\begin{array} {c|cc} \text{|} & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{array} \]

\[\begin{array} {c|cc} \text{~} & 0 & 1\\ \hline \text{} & 1 & 0\end{array} \]

\[\begin{array} {c|cc} \text{^} & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{array} \]

注：位运算有以下性质

①\(a\&b\le a+b\)

②\(a\text{^}0=a\)

③\(a\text{^}a=0\)

④\(a+b=a\text{^}b+2(a\&b)\)

⑤\(a\text{^}b=(\text{~}x \& y) | (x \& \text{~}y)\)

3、模板

数字操作

取\(n\)的第\(k\)位数字

n >> k & 1

返回\(n\)的最后一位\(1\)

lowbit(n) = n & -n

删除\(n\)的最后一位\(1\)

n & (n - 1)

判断\(n\)是否是\(2\)的幂

n && !(n & (n - 1)) //是2的幂并且非0返回1

判断两数是否异号

(x ^ y) < 0 //异号返回1

字符操作

大小写转换

ch ^ ' ' //大写转小写，小写转大写

转小写

ch | ' '

转大写

ch & '_'

集合操作

取空集

0

仅含第\(i\)个元素\((i\ge0)\)的集合

1 << i

含有全部\(n\)个元素的集合\((0\le i<n)\)

(1 << n) - 1

插入第\(i\)个元素

S | (1 << i)

删除第\(i\)个元素

S & ~(1 << i)

两个集合的并集

S | T

两个集合的交集

S & T

枚举子集

int sub = sup;
do
{
    //operations
    sub = (sub - 1) & sup;
}
while (sub != sup);

枚举大小为\(k\)的子集

int comb = (1 << k) - 1;
while (comb < 1 << n)
{
    //operations
    int x = comb & -comb, y = comb + x;
    comb = ((comb & ~y) / x >> 1) | y;
}

利用遮罩选取两集合中的特定元素

(a & ~mask) | (b & mask)

例题

Codeforces 1312C Adding Powers

Codeforces 1395C Boboniu and Bit Operations

Codeforces 1325D Ehab the Xorcist