【251121】CF2171 Div.3 vp 总结

老师说让我尝试体验快乐 AK，但是我失败了。

还是太菜了喵！

题目梗概

题目编号	题目名称	题目链接
A	Shizuku Hoshikawa and Farm Legs	Link
B	Yuu Koito and Minimum Absolute Sum	Link
C1 / C2	Renako Amaori and XOR Game (easy / hard version)	Link / Link
D	Rae Taylor and Trees (easy version)	Link
E	Anisphia Wynn Palettia and Good Permutations	Link
F	Rae Taylor and Trees (hard version)	Link
G	Sakura Adachi and Optimal Sequences	Link
H	Shiori Miyagi and Maximum Array Score	Link

给的都是 VJ 的链接，带翻译。

赛时情况

也是被吓到了好吧，和 Div.1+2 的题量差不多，现在 Div.3 都这么强势了吗？

首先读题。A 一眼纯暴力，B 不会但好像是把 \(-1\) 都改成 \(0\)，后面的题都没啥思路。C 怎么还带分 easy / hard version 的？坏。

秒 A。看 B。根据样例推翻自己“把 \(-1\) 都改成 \(0\)”的猜测，然后虚空思考。无效。又读了一遍题。我【】题读错了！对对就是 \(a_1\) 和 \(a_n\) 尽可能相等就对了。

推 C。准确来说是推 C1。推出来了开写，倒序判断。然后推 C2。咦咦咦我会了！虽然很感性证明不了，但是不想管了。开写开写。

搞定！做 D 做 D。推了大半天，噢，我会了！光速开码。码完后写错了一些，改改改。改改改。改对了。

由于 F 是 D 的加强版决定先想 F。思考。思考。思考。咋构造啊到底？思考失败，选择开 E。

这 E 是什么【】构造。推推推。推推推。找规律这一块……推了一个神神秘秘的 \(12\) 个数为周期的，额，规律数组，摇了摇发现，嗯，没多少问题，开写。

写完了，F G H 随机看题，还是决定想 F。

终于构造出来了！开写开写。时间不多了啊啊啊。码码码，码完了哦我码完了，样例过了噢耶！

噢耶你个死鬼头，离 AK 还有两题呢大哥。给我想。想。再想。H 会平方 DP 但是之后就不会做了。G 是毫无思路啊。

很生气，到最后还没肝出 G 和 H，愤怒交卷。也许我的实力就不配赛时切 G 和 H 吧……

分数分布

嗯，该过的题都过了，行。

赛后题解

A

纯暴力即可，枚举多少只鸡，看剩下的腿数是不是 \(4\) 的倍数。注意鸡的数量可以是 \(0\)。

B

观察发现需要最小化的就是 \(|a_n - a_1|\)，因此只要其中有一个数不固定就尽可能让这两个数相等。中间的不固定数就全填 \(0\) 好了，为了最小化字典序嘛。

C1

如果原本的情况能平局，那么没有人能够胜出，因为即将胜的一方会被即将败的一方调整至平局，因此只存在平局情况。

否则的话，考虑倒序找第一个 \(i\) 满足 \(a_i \not= b_i\)，隐含规则其实就是，谁的回合处理这个关键元素，谁就能赢，毕竟异或的性质且只有 \(0\) 和 \(1\) 嘛，那么只要看 \(i\) 的奇偶性情况就可以了。

C2

和 C1 同样的，原本情况能平局那就是平局。

之后的核心逻辑，就是在 C1 的基础上加了寻找关键元素位置的一个步骤。因为 C1 拆了二进制位后总是只有一位嘛，处理起来特方便，但 C2 这里就不同了要找到具体是哪一位最关键。

那这个关键位是哪里呢？首先求出原本情况，\(a\) 的是 \(A\)，\(b\) 的是 \(B\)。求 \(D = A \oplus B\)，\(D\) 的最高位 \(h\) 就是这个关键位了。求 \(a\) 和 \(b\) 两个数组中分别有多少个值在 \(h\) 位有值，记为 \(ca\) 和 \(cb\)，奇偶性相同依然平局，否则就根据这个像 C1 一样倒序找就可以了。

D

拆分，连通块。

注意到选择一个中间点 \(mid\)，拆成两个区间 \([1,mid]\) 和 \([mid+1,n]\) 之后，如果这两个区间分别形成的连通块相互之间连通不起来，说明什么？说明 \([1,mid]\) 这一段区间的最小值都比 \([mid+1,n]\) 这一段区间的最大值要大。只有这种情况是构不成的。那么前缀后缀 \(\min\) 一求，判断一下就完了。

E

显然构造题。周期性问题。尝试搞个以不知道啥长度为周期的排列，然后依着这个构造就行。

发现长度为 \(12\) 的 \(\{1,2,4,5,6,3,7,9,12,11,8,10\}\) 是不会有一组“坏索引”的，又发现其中的最大公约数都是 \(12\) 的约数，那么这就是一个完美的周期排列。

问题在于 \(n\) 不总是 \(12\) 的倍数啊，不是怎么办，就从余数对应的区间中取在范围内的按照上面那个周期顺序放好，会有“坏索引”，但是你可以依次尝试 \(1 \sim 11\) 所有情况，“坏索引”的个数都不会超过 \(6\)，因此是完美的。

F

D 的加强版，判断方法讲完了，这边只讲如何构造这个树。

锁定 \(i\) 到 \(i\) 往后的后缀中最大的一个点 \(j\)，\([i,j]\) 这一段连起来，再把 \(j\) 和 \(i\) 往前的前缀中最小的一个点连起来，就连通了，继续递推让 \(i = j+1\) 就可以啦！

G

考虑尽可能多的翻倍操作，找最小的 \(k\)，让每个 \(i\) 都有 \(a_i \times 2^k \le b_i\)。接着让 \(c_i = b_i - a_i \times 2^k\)，翻倍过程中可以在每个 \(c_i\) 二进制位为 \(1\) 的情况下多做一次 \(+1\) 操作，统计 \(\sum \operatorname{popcount}(c_i)\) 加进步数里。以及这期间也有调整顺序，同一位上先调谁再调谁最后调谁，用桶统计下然后阶乘算入方案数。最后就看累加答案那一块该怎么弄，先是总和阶乘，然后乘法逆元处理，除掉每种 \(i\) 的次数的阶乘，这样就能不重复。于是一开始要预处理阶乘和逆元操作，快速幂写好，时刻取模，就结束了。

H

首先可以考虑定义 \(dp_{i,j}\) 表示当前考虑前 \(i\) 个数且 \(a_i = i+j\)。由于 \(a\) 必须严格单调递增，我们通过转化可以变为 \(j\) 非递减。于是有转移 \(dp_{i,j} = \max_{k \le j} dp_{i-1,k} + v(i,j)\)，至于这个 \(v\) 可以写个函数出来，是 \(\log\) 的时间复杂度。

但是这样过不去，尝试压维，弄成 \(dp_{j}\)，于是 \(j\) 需要倒序枚举。但是依然不行，时间复杂度过不去，考虑用树状数组维护区间 \(\max\) 来处理这个东西。于是就结束啦！