20251006 模拟测 总结

\(\mathcal{Preface}\)

分数 \(90+100+100+30=320\)。

挂完了，呜。

\(\mathcal{Problem \space{} A}\)

Tag：诈骗，循环。

减法可以出负数，我们希望最后的值最大，可以一开始用最小的值去减其他所有值，但是保留任意一个非最小值，最后用这任意一个非最小值去减最小值就可以了，一定是最大解。具体的，和是 \(a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n - a_1\)，其中 \(a_1\) 是最小的数。

取余考虑保留，由于数组中的数各不相同，所以必定存在一个唯一的最小值，拿这个最小值不断去和其他值取余，最后也能保留下这个最小值，这一定是最大解。

因此两个都只需要算 \(sum\) 总和以及 \(mn\) 最小值就可以解决了。

注意特判 \(n=1\) 的情况啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊！赛时没注意挂了 \(10\)pts。之后一定要注意看边界的一些特殊情况！！！！！！1111

\(\mathcal{Problem \space{} B}\)

Tag：分讨，贪心。

由于题目保证肯定可以在两次以内搞定，因此不满足回文串的位置最多也只有两处，记为 \((d_1,n-d_1+1)\) 和 \((d_2,n-d_2+1)\) 两对。如果只有一处，那么 \(d_2 = 0\)，\(d_1\) 存数；而一处都没有的情况，即一开始就是回文串的话，\(d_1\) 和 \(d_2\) 当然就都不会存数了。

首先考虑一开始就是回文串的情况。显然我们手里还有两次操作，可以考虑将一些位置改成 a，优化字典序。从前往后找到这个位置对即可，至于为什么要去找，因为存在一开始就是 a 的，没必要再浪费次数修改重复的。

接着考虑只有一个位置需要修改的情况。如果 \(d_1\) 和 \(n-d_1+1\) 这两个位置中存在一个为 a 的，那么这里就只消耗了一个次数，还剩下一个次数怎么使用呢？只有当 \(n\) 是奇数的时候，我们可以考虑把最中间的那个，自己对自己的回文字符，改成 a；否则，这个次数就只能闲着啦。不过如果 \(d_1\) 和 \(n-d_1+1\) 两个位置中不存在任何一个为 a 的，那么两次就消耗完了，直接都改成 a 即可。

最后考虑有两个位置需要修改的情况，这种很简单，两个对子中都要分别选择一个字典序大的一端，把它的值改成那个较小字典序的字母，最后输出就 OK 啦。

\(\mathcal{Problem \space{} C}\)

Tag：判断质数，质数筛。

并不需要 DFS，虽然结构是棵树。

只要对读入的每条边，判断一下，如果这条边连接的两个点的点权加起来的值是质数，就让 \(ans \to ans+1\)。考虑顺序？不不不，只要定某个点为根，然后从叶子往上改就好了。

为了更快判断质数，一开始写个埃氏筛就行了，没必要写线性筛哦。

\(\mathcal{Problem \space{} D}\)

Tag：前缀和，枚举，简单思维。

考虑用 \(p_x\) 记录 \(c\) 中最多可以有多少个数字 \(x\)，\(x\) 的范围是 \(1 \sim 5 \times 10^6\)。\(x\) 是 \(0\) 的可以一开始算一下，就是 \(a\) 中 \(< 10^6\) 的数字的个数。

重点在于如何计算具体 \(p\) 值。

考虑枚举 \(i\) 表示 \(b\) 中的值，然后枚举 \(j\) 为 \(i\) 的倍数并记 \(x = \frac{j}{i}\)。在这里，\(i \le 10^6\) 且 \(j \le 5 \times 10^6\)。

那么这里就有一个区间 \([j,j+i-1]\)，表示在 \(b\) 值为 \(i\) 的情况下 \(a\) 中取哪个范围才能得到 \(c\) 值为 \(x\)。将原 \(a\) 值塞进桶里求前缀和，维护在区间 \([j,j+i-1]\) 中有多少个满足条件的 \(a\)，加进 \(p_x\) 里。

问题在于这种方法会重复计算，一个数可能除以多个数都等于某个数，这样是行不通的，重复计算会导致数值错误。怎么办呢？只要对于每个 \(x\) 都记录一下上次 \(p_x\) 计算答案的时候的这个区间是多少，然后这次计算 \([j,j+i-1]\) 的时候判断一下，不要累加重复部分就好啦。

代码是很好写的。

n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),s[a[i]]++;
for(int i=1;i<=5000000;i++)s[i]+=s[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++)Ans+=(a[i]<1000000);
for(int i=1;i<=1000000;i++){
    for(int j=i,x=1;j<=5000000;j+=i,x++){
        LL oL=h[x].fr,oR=h[x].se;
        LL nL=j,nR=min(j+i-1,5000000);
        if(oR<nL)p[x]+=s[nR]-s[nL-1];
        else if(oR<nR)p[x]+=s[nR]-s[oR];else;
        h[x]={nL,nR};
    }
}
for(int i=1;i<=5000000;i++)Ans=max(Ans,p[i]);
cout<<Ans<<"\n";

---

有一个 Hack，疑似能 Hack 死某些人的代码，我这里贴出来。

Input：

10
7 14 28 4000001 4000002 4000003 4000004 4000005 4000006 4000007

Answer：

10

Possible output：

9

解释一下，构造 \(b = \{ 1,2,4,571428,571428,571428,571428,571428,571428,571428\}\)，可以让所有 \(c\) 值都为 \(7\)。

似乎可以 Hack 死某两位大神的赛时代码。

\(\mathcal{Summary}\)

T1 没有考虑边界情况，之后一定要注意了！！！！！！11111

T4 没有想到正解，之后要多推导一下。思维要跳出来，不要卡在一个死胡同里。

希望今天下午成绩可以好一点，呜。