【学习笔记】基础算法——矩阵乘法 & 矩阵快速幂

矩阵乘法

例题。

很水，只要按着题意模拟就行。

记得搞清定义。如果 \(A\) 矩阵是 \(n_1 \times m_1\) 的，\(B\) 矩阵是 \(n_2 \times m_2\) 的，那么必须在满足 \(m_1 = n_2\) 的情况下，两个矩阵才能做乘法。

具体的，是 \(A\) 的每一行的每个项依次与 \(B\) 的每一列的每个项做乘法，然后全部加起来，放进最终乘积 \(C\) 的那一行那一列。

所以就像我说的，\(C\) 最终是一个 \(n_1 \times m_2\) 的矩阵。

例题直接模拟即可。

粘上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105 ;
int n,m,k,a[N][N],b[N][N],c[N][N];
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin>>a[i][j];
    for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=k;j++)cin>>b[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=k;j++)
        for(int o=1;o<=m;o++)c[i][j]+=a[i][o]*b[o][j];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=k;j++)cout<<c[i][j]<<" ";
        cout<<"\n";
    }
    return 0;
}

矩阵快速幂

例题。

首先一个前置知识：矩阵乘法没有交换律（这点很重要！），但是有结合律，因此它才能进行快速幂！要不然怎么快速幂呢。

但是注意好了，快速幂的时候注意乘法的先后顺序！因为它没有交换律。

矩阵快速幂的代码与正常的快速幂极为相似，因为我们可以用结构体存储矩阵，然后重定义结构体的 * 运算，套上那啥模拟的矩阵乘法就行。这样我们写快速幂的时候就可以直接使用 * 了。

代码不贴了，就多了个快速幂而已。

楼梯问题

简单版本

Problem Link。

这个其实上就是斐波那契数列，对吧。一眼就能看出来。

然后就是重点！我们的初始矩阵 & 转移矩阵是什么？

我们经过一系列推导，可以推出以下转移矩阵：

\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}

初始矩阵？当然是——

\begin{bmatrix}
\ 1 & 1 \
\end{bmatrix}

那么直接转移就行啦！

复杂版本

Problem Link。

一样的。记着转移矩阵的推法！

可以先套上 \(m=2\) 的，试着推一推 \(m=3\) 的，进而知道 \(m=4\) 的，找出规律即可。当然有保险的推法更好啦，上述方案是为刚学矩阵快速幂的萌新准备的qwq

完整代码不贴啦！就贴一个一开始初始化转移矩阵 & 初始矩阵的代码吧。

for(int i=1;i<=m;i++)ans[i][i]=1,a[i][m]=1,a[i+1][i]=1;

nsdd，\(ans\) 是初始矩阵，\(a\) 是转移矩阵啦。

思考

矩阵快速幂这个东西，一般的用途就是，有一个递推式，但是你又不能直接递推去做这件事（时间复杂度炸了之类的），那么我们就会考虑用矩阵快速幂来加速递推。在图论题中，也存在直接用存图的邻接矩阵作为转移矩阵的，为的就是解决图论上的问题。当然一般需要把这个转移矩阵进行一系列的完善。当然不排除有水题。然后也有用矩阵快速幂优化 DP 的！毕竟 DP 也是一个递推式嘛。

那么一般看到以下几个关键信息就要联想到矩阵快速幂是否可做：

• 存在递推式
• 时间/空间复杂度会爆炸，无法直接递推
• DP 的递推式优化
• 图论题并且转移比较单一
• 使用邻接矩阵存图

很多时候看到递推式并且会爆炸的，一定一定要去看看矩阵快速幂是否可行！！！

总结

矩阵快速幂是个好东西。

把上面那句话划掉干啥！矩阵快速幂确实是个好东西啊。

矩阵快速幂解题的关键就在于：初始矩阵，递推矩阵！可能有时候后面还会让你乘一些东西。

记好了，矩阵有结合律，但是没有交换律！快速幂的时候一定记住，顺序别搞错了！