【学习笔记】基础数论——同余

引入

什么是余数？

假设你有 \(10\) 块糖果，要分给 \(3\) 个小朋友，每个小朋友分到 \(3\) 块，还剩 \(1\) 块。剩下的 \(1\) 就是余数。
数学写法：
\(10 \div 3 = 3 \dots 1\)
\(10 = 3\times 3 + 1\)

什么是同余？

如果两个数除以同一个数后，得到的余数相同，我们就说它们同余。
例如：
\(15\div 4 = 3 \dots 3\)
\(7\div 4 = 1 \dots 3\)
它们的余数都是 \(3\)，所以 \(15\) 和 \(7\) 在模 \(4\) 下是同余的。
符号写作 \(15\equiv 7 \pmod{4}\)。

如何判断 & 寻找？

1. 判断是否同余
   • \(17\) 和 \(5\) 在模 \(6\) 下同余吗？
   • \(17\div 6 = 2\dots 5\), \(5\div 6 = 0\dots 5\)，余数相同，所以 \(17\equiv 5\pmod {6}\)，同余。
2. 找同余数
   • 在模 \(5\) 下，哪些数和 \(12\) 同余？
   • \(12\div 5 = 2\dots 2\)，所以所有形如 \(5k+2\) 的数都和 \(12\) 同余，例如 \(2,7,12,17,22\) 等数值。

正文

同余的定义

同余，由高斯在 \(19\) 世纪初提出这一概念。
同余的语言使得人们能用类似处理等式的方法来处理整除关系。

定义：
设 \(m\) 是正整数，若 \(a\) 和 \(b\) 是整数，且 \(m|(a-b)\)，则称 \(a\) 和 \(b\) 模 \(m\) 同余。
若 \(a\) 和 \(b\) 模 \(m\) 同余，则记作 \(a\equiv b \pmod {m}\)。
若 \(m \nmid (a-b)\)，则记作 \(a\not\equiv b \pmod {m}\)，并称 \(a\) 模 \(m\) 不同余于 \(b\)。
整数 \(m\) 称作同余的模。

数学里，用 \(\mid\) 表示整除。\(a\mid b\) 表示 \(a\) 整除 \(b\)，意味着 \(a\) 是 \(b\) 的因子，\(b\) 是 \(a\) 的倍数。

举例

• \(9\mid (22-4) = 18\)；
• 所以有 \(22\equiv 4\pmod{9}\)；
• 类似的 \(3\equiv -6\pmod{9}\)，\(200\equiv 2\pmod{9}\)；
• 此外，\(9\nmid (13-5) = 8\)，所以 \(13\not\equiv 5\pmod{9}\)。

同余在生活中随处可见。
钟表对于小时是模 \(12\) 或者 \(24\)，对于分钟和秒是模 \(60\)；日历对于星期是模 \(7\)，对于月份是模 \(12\)，等等。

定理 & 证明

定理：
若 \(a\) 和 \(b\) 是整数，则 \(a\equiv b\pmod{m}\) 当且仅当存在整数 \(k\)，使得 \(a = b+km\)。

证明：
若 \(a\equiv b\pmod{m}\)，则 \(m\mid (a-b)\)。这说明存在整数 \(k\)，使得 \(km = a-b\)，所以 \(a = b+km\)。

重要性质

设 \(m\) 是正整数，模 \(m\) 的同余满足下面的性质：

• 自反性。若 \(a\) 是整数，则 \(a\equiv a\pmod{m}\)。
• 对称性。若 \(a\) 和 \(b\) 是整数，且 \(a\equiv b\pmod{m}\)，则 \(b\equiv a\pmod{m}\)。
• 传递性。若 \(a,b,c\) 是整数，且 \(a\equiv b\pmod{m}\),\(b\equiv c\pmod{m}\)，则 \(a\equiv c\pmod{m}\)。

性质的证明

• 自反性：因为 \(m\mid (a-a)\)，所以 \(a\equiv a\pmod{m}\)。
• 对称性：若 \(a\equiv b\pmod {m}\), 则 \(m\mid (a-b)\)，从而存在整数 \(k\)，使得 \(km = a-b\)。这说明 \((-k)m = b-a\)，即 \(m|(b-a)\)，因此 \(b\equiv a\pmod{m}\)。
• 传递性：若 \(a\equiv b\pmod{m}\)，且 \(b\equiv c\pmod{m}\)，存在整数 \(k\) 和 \(l\), \(km = a-b\)，\(lm = b-c\)，于是 \(a-c = (a-b)+(b-c) = km+lm = (k+l)m\), 有 \(a\equiv c\pmod{m}\)。

同余例题

题面：
给定字符串 \(s\)，将 \(s\) 不断拼接，得到一个无限长的字符串 \(t\)。求 \(t\) 中的第 \(n\) 个字符。
\(1\leq n\leq 10^9\)，\(1\leq |s|\leq 10000\)。

解法：
设 \(len=|s|\)。\(t\) 中的第 \(n\) 位其实上可以映射到 \(s\) 中的第 \(n\%len\) 位，当然，如果 \(len \mid n\)，则是最后一位。直接输出即可。

剩余系 & 同余类

由上述定理可见，整数的集合被分成 \(m\) 个不同的集合，这些集合称为模 \(m\) 剩余系（同余类），每个同余类中的任意两个整数都是模 \(m\) 同余的。

定义：一个模 \(m\) 完全剩余系是一个整数的集合，使得每个整数恰和此集合中的一个元素模 \(m\) 同余。

模运算中的定理 & 证明

若 \(a,b,c\) 和 \(m\) 都是整数，\(m>0\)，\(a \equiv b\pmod{m}\)，则有：

• \(a+c \equiv b+c\pmod{m}\)；
• \(a-c \equiv b-c\pmod{m}\)；
• \(ac \equiv bc\pmod{m}\)。

上面的证明非常简单，在此不多说了。

若 \(a,b,c\) 和 \(m\) 都是整数，\(m>0\)，\(d = \gcd(c,m)\)，且有 \(ac\equiv bc\pmod{m}\)，则有 \(a\equiv b\pmod{\frac{m}{d}}\)。

证明：
若 \(ac\equiv bc\pmod{m}\)，则存在整数 \(k\)，有 \(km = c(a-b)\)。两边同时除以 \(d\)，得到 \(\frac{c}{d} (a-b) = k(\frac{m}{d})\)。
因为 \(gcd(\frac{m}{d},\frac{c}{d}) = 1\), 有 \(\frac{m}{d}\mid (a-b)\)，所以有 \(a\equiv b\pmod{\frac{m}{d}}\)，得证。

计算机中的模运算

同余式相减时，结果可能出现负数，需要将运算结果加到正值，才是正确的余数。

比如说，我们要计算 \(a-b\) 的值取模 \(m\) 后的结果。不过由于 \(a\) 和 \(b\) 的原值过大，一开始就对 \(m\) 进行了取模。
正常来讲，我们直接计算 (a-b)%m 就速速结束了，毫不费脑。
但是这里会有一个严重的事情，由于我们的 \(a\) 和 \(b\) 都是取了模的，即使一开始满足 \(a \ge b\)，取模后也不一定。
我们举个反例，如果 \(a=8\)，\(b=6\) 并且 \(m=4\) 的话，\(a \mod m = 8 \mod 4 = 0\)，\(b \mod m = 6 \mod 4 = 2\)，\(0 < 2\)。可以看到，上面所说确实属实。
那该如何解决这个问题呢？很容易就能发现，其实上只要将它们的差（可能是负数）加上一个 \(m\) 以后再取模，就没问题了。
因此，最终的代码为 (a-b+m)%m。是不是也很简单呢？

模运算中的幂运算

如果 \(a\equiv b \pmod{m}\)，则有 \(a^n\equiv b^n\pmod{m}\)。

证明：

1. 采用数学归纳法，已知 \(m \mid (a^{-1}-b^{-1})\)。
2. 如果 \(m\mid (a^i - b^i)\)，根据同余式相乘，\(a^i \equiv b^i\pmod{m}\) 且 \(a\equiv b\pmod{m}\)，则 \(a^{i+1}\equiv b^{i+1}\pmod{m}\)。
3. 肯定能够一直推到 \(n\)，得证。

模运算中的除法推论

推论：
\(a,b,c\) 和 \(m\) 都是整数，\(m>0\)，\(\gcd(c,m)=1\)，且有 \(ac \equiv bc \pmod{m}\)，则 \(a \equiv b \pmod{m}\)。

该推论使得我们可以在模 \(m\) 同余式中消去和 \(m\) 互质的数。

模运算中的定理 & 证明

定理：
若 \(a,b,c,d\) 和 \(m\) 是整数，\(m>0\)，\(a\equiv b\pmod{m}\),\(c\equiv d\pmod{m}\)，则：

• \(a+c\equiv b+d\pmod{m}\)
• \(a-c \equiv b-d \pmod{m}\)
• \(ac = bd\pmod{m}\)

证明：
因为 \(a\equiv b\pmod{m}\)，且 \(c\equiv d\pmod{m}\)，我们有\(m\mid (a-b)\) 和 \(m\mid (c-d)\)，因此，存在整数 \(k\) 和 \(l\)，使得 \(km = a-b\)，\(lm = c-d\)。

接下来我们一条一条证明：

• • 有 \((a+c)-(b+d) = (a-b)+(c-d) = km+lm+(k+l)m\)；
  • 因此 \(m\mid [(a+c)-(b+d)]\)，得证 \(a+c\equiv b+d\pmod{m}\)。
• • 有 \((a-c)-(b-d) = (a-b)-(c-d) = km-lm = (k-l)m\)；
  • 因此 \(m\mid [(a-c)-(b-d)]\)，得证 \(a-c \equiv b-d \pmod{m}\)。
• • 有 \(ac - bd = ac-bc+bc-bd = c(a-b) + b(c-d)= ckm + blm = m(ck+bl)\)；
  • 因此 \(m\mid (ac-bd)\)，得证 \(ac = bd\pmod{m}\)。

计算机中的常见取余数计算

不少题目中，需要将最终结果取模后输出（常见如 \(998244353\)、\(10^9+7\)）。
如果计算操作只涉及加、减、乘运算，那么可以在中途计算时就取模。取模后的数与原数是同余的，不影响最后的取模结果。
如涉及除法，需要用到费马小定理，使用乘法逆元求解，详见此处。

线性同余方程

设 \(x\) 是某未知整数，形如 \(ax\equiv b\pmod{m}\) 的同余式称为一元线性同余方程，其中 \(a,b\) 以及 \(m\) 均为已知数。

首先注意到，若 \(x = x_0\) 是同余方程的一个解，且 \(x_1 \equiv x_0\pmod{m}\)，则 \(ax_1 \equiv ax_0\pmod{m}\)，所以 \(x_1\) 也是一个解。因此，若一个模 \(m\) 同余类的某个元素是解，则此同余类的所有元素都是解.

拓展：一元线性同余方程 \(ax\equiv b\pmod{m}\) 等价于二元不定方程 \(ax-my = b\)。

二元不定方程

现在要求求解二元不定方程 \(ax+by = c\)。

第一步，我们要知道如何判定它是否有解。
首先考虑一些较弱的结论，容易发现，无论 \(x,y\) 的取值，左式一定是 \(d = \gcd(a,b)\) 的倍数，因此当 \(d\nmid c\) 时，方程显然无解。这使得我们可以为方程两侧同时除以 \(d\).
同时我们注意到同时除以 \(d\) 之后，\(a,b\) 互质，这说明我们可以将问题简化为求解 \(a,b\) 互质时的情形。
对于 \(a\perp b\)，可以证明 \(ax \mod b\) 可以取到 \(0 \sim b-1\) 中的任意一个数。
所以若 \(d \mid c\)，方程就一定有解.

接下来思考如何求解。

考虑 \(ax,by\) 满足 \(0 \le x\),\(y < b\)，\(x \not= y\)，则 \(ax\neq ay\pmod{b}\)。若存在则有 \(a(x-y) = 0\mod{b}\)。
因为 \((a,b) = 1\)，\(a\) 不含有任何 \(b\) 含有的质因子，对同余式的成立没有任何贡献，所以 \(x-y = 0\pmod{b}\)，与限制矛盾。所以一定可以取遍 \(0 \sim b-1\).

裴（péi）蜀（shǔ）定理

若 \(a,b\) 是整数，且 \(\gcd(a,b) = d\)，则对于任意的整数 \(x,y\)，\(ax+by\) 一定都是 \(d\) 的倍数。

特别的，一定存在数 \(x\),\(y\)，使得 \(ax+by = d\) 成立。

重要推论：\(a,b\) 互质的充分必要条件是存在数 \(x,y\)，使得 \(ax+by = 1\)。

二元线性不定方程

我们现在要求解二元线性不定方程，其形如 \(ax+by = c\)。

设 \(d = \gcd(a,b)\)，则需要求解 \(ax+by = d\)，并将其解乘以 \(\frac{c}{d}\) 即可。
根据上文中提到的裴蜀定理，方程的解必然存在。
注意到等式右端等于 \(x,y\) 前系数的最大公约数。回顾欧几里得算法，我们用到了关键结论 \(\gcd(a,b) = gcd(b,a\%b)\)，将问题缩小到更小的规模上。利用这一思想，我们尝试将求解的方程也缩至更小的规模上。
假设我们已经得到了 \(bx' + (a\mod b)y' = d\) 的一组解，则 \(ax+by = bx'+(a\mod b)y' = bx' +(a-b\times \lfloor\frac{a}{b}\rfloor)y' = ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')\)。
对比等式两端，有 \(x = y'\)，\(y = x' - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor y'\)
不断递归计算即可。
递归边界即 \(b = 0\)时，根据辗转相除法，\(a = d\)。
此时 \(x = 1\)，\(y = 0\) 即为一组解。

扩展欧几里得算法

代码如下，非常简短：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(!b){x=1,y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return;
}

二元线性不定方程

若 \(a,b\) 是整数且 \(d = \gcd(a,b)\)，若 \(x = x_0\)，\(y = y_0\) 是 \(ax+by = c\) 的一个特解，那么所有的解均可表示为：

• \(x = x_0+\frac{bn}{d}\)
• \(y = y_0+\frac{an}{d}\)
  注：其中 \(n\) 是整数。