NOI2012 随机数生成器

题意:

给定$x,y,n,a_{0},m,g$.

定义$a_{i}=x*a_{i-1}+y\ mod\ m$

求$a_{n}\ mod\ g$

$n,m,x,y,a<=10^{18},g<=10^{8}$

题解:

当n较小,可以直接算出$a_{n}$

可以得到$a_{n}$的通项公式  $a_{n}=x^{n}*a_{0}+y*\frac{x^{n-1}-1}{x-1}$

当m是素数时,可以通过求解逆元得到结果.

对于没有特殊性质的数据该怎么做?

我们可以把递推式构造成矩阵

$\begin{Bmatrix} a_{i} \\ y \end{Bmatrix}  = \begin{Bmatrix} x & 1 \\ 0 & 1 \end{Bmatrix} * \begin{Bmatrix} a_{i-1} \\ y \end{Bmatrix} $

那就可以再$logn$内求出$a_{n}$

但是注意 $m$是LL范围的,所以中间结果可能会溢出.

对于这种情况 可以使用"快速乘" 用快速幂的思路把乘法转化成加法.这样就可以实现LL乘法了.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,m,g,x,y,a;
void Add(ll &x,ll y){x+=y;if(x>=m)x-=m;}
ll mul(ll a,ll b){
    ll res=0;
    while(b){
        if(b&1)Add(res,a);
        Add(a,a);
        b>>=1;
    }
    return res;
}
struct Mat{
    int a,b;
    ll c[2][2];
    Mat(){c[0][0]=c[0][1]=c[1][0]=c[1][1]=0;}
    Mat operator*(const Mat &tmp)const{
        Mat t;
        for(int i=0;i<a;i++){
            for(int j=0;j<tmp.b;j++)
                for(int k=0;k<b;k++)
                    Add(t.c[i][j],mul(c[i][k],tmp.c[k][j]));
        }
        t.a=a,t.b=tmp.b;
        return t;
    }
    void init(int x,int y){
        a=x,b=y;
    }
}I;
ll calc(){
    ll b=n;
    Mat t;t.init(2,2);
    t.c[0][0]=x,t.c[0][1]=t.c[1][1]=1;
    I.init(2,1);
    I.c[0][0]=a;
    I.c[1][0]=y;
    while(b){
        if(b&1)I=t*I;
        t=t*t;
        b>>=1;
    }
    return I.c[0][0];
}
int main(){
//    freopen("random.in","r",stdin);
    cin>>m>>x>>y>>a>>n>>g;
    x%=m,y%=m,a%=m;
    cout<<calc()%g<<endl;
    return 0;
}

 

$By\ LIN452$

$2017.06.09$