05 序列的分类

序列的分类

将序列进行分类，利用分类的特征可以简化许多信号处理算法。

基于对称性的分类

若\(x[n]=x^{*}[-n]\)，则称序列\(x[n]\)为共轭对称序列，如果序列\(x[n]\)是实序列，那么称其为偶序列。明显要满足这样的条件，\(x[n]\)的有值区间必须是对称的。

若\(x[n]=-x^{*}[-n]\)，则称序列\(x[n]\)为共轭反对称序列，如果\(x[n]\)为实序列，那么称其为奇序列。同理，\(x[n]\)的有值区间必须是对称的。

任何序列\(x[n]\)都可以表示为共轭对称序列\(x_{cs}[n]\)和共轭反对称部分\(x_{ca}[n]\)之和。

\[x[n]=x_{cs}[n]+x_{ca}[n] \]

其中

\[x_{cs}[n]=\frac{1}{2}(x[n]+x^{*}[-n])\\ x_{ca}[n]=\frac{1}{2}(x[n]-x^{*}[-n]) \]

容易证明\(x_{cs}[n]\)为共轭对称序列，\(x_{ca}[n]\)为共轭对称序列。

注意：
上面\(x[n]\)能分解成共轭对称部分和反共轭对称部分之和的前提是\(x[n]\)是定义在对称区间上，即\(-M \leq n \leq M\)。

例：考虑定义在\(-3 \leq n \leq 3\)上且长度为\(7\)的有限长序列：

\[g[n]=\{0, 1+j4, -2+j3, \mathop{4-j2}\limits_{\uparrow}, -5-j6, -j2, 3\} \]

求其共轭对称部分\(g_{cs}[n]\)和共轭反对称部分\(g_{ca}[n]\)。

解：首先求得\(g[n]​\)的共轭部分

\[g^{*}[n]=\{0, 1-j4, -2-j3, \mathop{4+j2}\limits_{\uparrow}, -5+j6, j2, 3\} \]

将其时间反褶得到

\[g^{*}[-n]=\{3, j2, -5+j6, \mathop{4+j2}\limits_{\uparrow}, -2-j3, 1-j4, 0 \} \]

则共轭对称部分为

\[g_{cs}[n]=\{1.5, 0.5 + j3, -3.5 + j4.5, \mathop{4}\limits_{\uparrow}, -3.5-j4.5, 0.5-j3, 1.5\} \]

共轭反对称部分为

\[g_{ca}[n]=\{-1.5, \,0.5 + j, \,1.5 - j1.5, \, \mathop{-j2}\limits_{\uparrow}, \,-1.5-j1.5, \, 0.5-j, \,1.5\} \]

周期信号和非周期信号

如果序列\(x[n]\)满足

\[x[n+kN]=x[n] \]

其中\(N\)是正整数，\(k\)是任意整数。那么称序列\(x[n]\)为周期为\(N\)的周期序列，一般周期序列记为\(\tilde{x}[n]\)

如果序列不是周期序列，则称序列为非周期序列。

两个周期序列相加还是周期序列，\(\tilde{y}[n]=\tilde{x}_a[n]+\tilde{x}_b[n]\),其周期为两个周期的最小公倍数\(LCM(N_a,N_b)\)。

两个周期序列相乘还是周期序列，\(\tilde{y}[n]=\tilde{x}_a[n]\tilde{x}_b[n]\)其周期最大为两个周期的最小公倍数\(LCM(N_a,N_b)\)，实际上的周期可能比这个小。

能量信号和功率信号

序列\(x[n]\)的能量定义为：

\[\varepsilon_x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n] \vert^2 \]

非周期序列的平均功率定义为

\[P_x=\lim\limits_{K \to \infty}\frac{1}{2K+1}\sum_{n=-K}^{K}\vert x[n] \vert^2 \]

定义有限区间\(-K \leq n \leq K\)的能量为

\[\varepsilon_{x,K}=\sum_{n=-K}^{K}\vert x[n] \vert^2 \]

则平均功率与能量的关系为

\[P_x=\lim\limits_{K \to \infty}\frac{1}{2K+1}\varepsilon_{x,K} \]

如果一个序列的能量有限，那么称这个序列为能量信号，如果一个序列的功率有限且不为零，那么称这个序列为功率信号。

从功率的与能量的关系可以看出，一个信号如果能量有限，那么它的功率为零，所以一个能量信号不可能是功率信号。如果一个信号为功率信号，那么它的能量必定为无穷，所以一个功率信号不可能为能量信号。

综上，一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但是存在既不是周期信号也不是能量信号的信号，比如在一个周期内能量为无穷的信号。

由于周期信号的在每个周期的能量不为零，所以周期信号的能量必定为无穷大(为无穷多个周期的能量加起来)，所以周期信号只可能是功率信号(也可能不是，如果一个周期的能量为无穷的话)。

定义周期信号的平均功率为

\[P_x=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\vert \tilde{x}[n] \vert^2 \]

这个表达式的意义为周期信号的功率为其在一个周期内的功率，显然这样的定义是合理的。

能量信号示例

无限长序列\(x[n]\)定义如下

\[x[n]= \begin{cases} \frac{1}{n}, \quad n \geq 1 \\ 0, \quad n \leq 0 \end{cases} \]

则其能量为

\[\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})^2=\frac{\pi^2}{6}<\infty \]

所以该信号为能量信号。

功率信号示例

已知序列

\[x[n]= \begin{cases} 3(-1)^n, \quad n \geq 0 \\ 0, \quad n <0 \end{cases} \]

由能量的定义式

\[\varepsilon_x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n] \vert^2=\sum_{n=0}^{\infty}9=\infty \]

所以该信号不是能量信号。

由平均功率的定义式

\[P_x=\lim\limits_{K \to \infty}\frac{1}{2K+1}\sum_{n=0}^K9=\lim\limits_{K \to \infty}\frac{9(K+1)}{2K+1}=4.5 \]

所以该信号为功率信号。

其他分类

若序列\(x[n]\)的每一个样本值都小于一个有限的正数，那么称\(x[n]\)是有界的，即

\[\vert x[n] \vert \leq B_x < \infty \]

若序列\(x[n]\)满足

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n] \vert <\infty \]

那么称序列绝对可和。

若序列\(x[n]\)满足

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n] \vert^2 <\infty \]

那么称序列平方可和。其实上面的表达式就是一个信号能量的表达式，所以说，如果一个信号平方可和，那么这个信号就是能量信号。