系统分类
线性系统
假设序列\(x_1[n],x_2[n]\)通过离散时间系统\(H\)的输出为分别为序列\(y_1[n],y_2[n]\),即
\[x_1[n]\xrightarrow{H}y_1[n] \quad x_2[n]\xrightarrow{H}y_2[n]
\]
若
\[ax_1[n]+bx_2[n]\xrightarrow{H}ay_1[n]+by_2[n]
\]
那么称离散时间系统\(H\)为线性系统。
时(移)不变系统
假设序列\(x[n]\)通过离散时间系统\(H\)的输出为分别为序列\(y[n]\),即
\[x[n]\xrightarrow{H}y[n]
\]
若
\[x[n-n_0]\xrightarrow{H}y[n-n_0]
\]
那么称离散时间系统\(H\)为时(移)不变系统。
如果离散时间系统\(H\)既满足线性系统，也满足时不变系统，那么称\(H\)为线性时不变(LTI)系统。
因果系统
因果系统指的是，离散时间系统在\(n_0\)的输出\(y[n_0]\)只由\(n\leq n_0\)的输入\(x[n]\)决定。
因此，若输入为\(x_1[n]\)和\(x_2[n]\),因果离散时间系统的响应为\(y_1[n]\)和\(y_2[n]\),则
\[x_1[n]=x_2[n], \quad n < N
\]
那么
\[y_1[n]=y_2[n], \quad n < N
\]
稳定系统
如果对于任意的有界输入，产生的输出都是有界的，那么就称系统是稳定的。即对于所有的\(n\)值，有
\[\vert x[n]\vert < B_x
\]
则对于所有的\(n\)
\[\vert y[n]\vert < B_y
\]
这类稳定系统称为有界输入有界输出(BIBO)稳定系统。
LTI系统
输入输出关系
假设该LTI系统的单位冲激序列\(\delta[n]\)的响应为\(h[n]\),即
\[\delta[n]\xrightarrow{H}h[n] \quad or \quad H\{\delta[n]\}=h[n]
\]
对于任意的输入序列\(x[n]\)可以表示为
\[x[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta[n-m]
\]
则序列\(x[n]\)的响应\(y[n]\)为
\[y[n]=H\{x[n]\}=H\{\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta[n-m]\}
\]
由于该系统为线性系统，则上式可以写为
\[y[n]=H\{\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta[n-m]\}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]H\{\delta[n-m]\}
\]
又由于该系统为时不变系统，那么\(H\{\delta[n-m]\}=h[n-m]\),所以上式可以写为
\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]
\]
我们把上式简写为
\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]=x[n]*h[n]
\]
称运算\(*\)为卷积运算。
上述表达式说明，若已知LTI系统的单位冲激响应\(h[n]\),那么任意输入序列\(x[n]\)通过与\(h[n]\)卷积，即可得到其响应\(y[n]\)。所以\(h[n]\)可以用来描述LTI系统。
用冲激响应表示因果性条件
由输入输出关系
\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]
\]
则\(n=n_0\)处的输出为
\[y[n_0]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n_0-m]=\sum_{m=-\infty}^{n_0}x[m]h[n_0-m]+\sum_{m=n_0+1}^{\infty}x[m]h[n_0-m]
\]
由于因果系统的输出\(y[n_0]\)只与\(n\leq n_0\)的输入有关，所以上式的后面一项为\(0\),即
\[\sum_{m=n_0+1}^{\infty}x[m]h[n_0-m]=0
\]
由于输入的序列\(x[n]\)是任意的，所以得到
\[h[n_0-m]=0, 对任意m > n_0
\]
即得到
\[h[n]=0, n < 0
\]
所以对于LTI系统，若
\[h[n]=0, n < 0
\]
那么该LTI系统是因果的。
用冲激响应表示稳定性条件
由输入输出关系
\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]
\]
得到
\[\vert y[n]\vert=\vert \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]\vert \leq \sum_{m=-\infty}^{\infty}\vert x[m] \vert \vert h[n-m] \vert
\]
对于有界的输入\(\vert x[n] \vert \leq B_x\),得到
\[\vert y[n] \vert \leq B_x\sum_{m=-\infty}^{\infty}\vert h[n-m] \vert
\]
所以当
\[\sum_{m=-\infty}^{\infty}\vert h[n-m] \vert\xrightarrow{k=n-m}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\vert h[k] \vert < \infty
\]
\(\vert y[n] \vert\)有界。
所以对于LTI系统，若
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert h[n] \vert < \infty
\]
则该系统是稳定的。
