优雅地证明卡特兰三角中 C(n,k)=C(n-1,k)+C(n,k-1)

其实不一定优雅。

首先我们有：

\[C(n,k)=\binom{n+k}{k}-\binom{n+k}{k-1} \]

这个可以反射容斥证明，这里就不写了。

然后我们要证明 \(C(n,k)=C(n-1,k)+C(n,k-1)\)，当然前提是合法。倒推即可：

欲证：

\[C(n,k)=C(n-1,k)+C(n,k-1) \]

拆开：

\[\binom{n+k}{k}-\binom{n+k}{k-1}=\binom{n+k-1}{k}-\binom{n+k-1}{k-1}+\binom{n+k-1}{k-1}-\binom{n+k-1}{k-2} \]

消掉两个相同项然后挪项：

\[\binom{n+k}{k}-\binom{n+k-1}{k}=\binom{n+k}{n+1}-\binom{n+k-1}{n+1} \]

拆开：

\[\frac{(n+k)!}{n!k!}-\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}=\frac{(n+k)!}{(n+1)!(k-1)!}-\frac{(n+k-1)!}{(n+1)!(k-2)!} \]

合并一下：

\[(1-\frac{n}{n+k})\frac{(n+k)!}{n!k!}=(1-\frac{k-1}{n+k})\frac{(n+k)!}{(n+1)!(k-1)!} \]

同时乘 \(n+k\) 把系数里的分数消掉：

\[k\cdot\frac{(n+k)!}{n!k!}=(n+1)\frac{(n+k)!}{(n+1)!(k-1)!}=\frac{(n+k)!}{n!(k-1)!} \]

证毕。至于为什么要证这个，闲的恰好遇到，恰好想了，于是就写了。