二项式反演简记

更新日志

2025/07/21：开工。

---

前言

由于容易感性理解且证明不重要，所以就不证明了，需要证明的话自行搜索吧。

以下的至多至少均只为方便理解所记，严谨应统一称作钦定。

公式

形式一

\(f(n)\) 表示恰好选 \(n\) 个的方案数，\(g(n)\) 表示至多选 \(n\) 个的方案数。

\[f(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i) \]

形式二

\(f(m)\) 表示恰好选 \(m\) 个的方案数，\(g(m)\) 表示至少选 \(m\) 个的方案数。

\[f(m)=\sum_{i=m}^n(-1)^{i-m}\binom{i}{m}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=m}^n\binom{i}{m}f(i) \]