Mincowski-Sum 闵可夫斯基和优化 DP

更新日志

2025/07/07：开工。

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思路

闵可夫斯基和可以用于优化 Max-Add 及 Min-Add 卷积。下文以 Max-Add 卷积为例进行讲解。

Max-Add 卷积形似 \(f_i=\max\limits_{j=0}^i g_j+h_{i-j}\)，要求 \(h,g\) 均具有凸性，对于 Max-Add 卷积，要求它们上凸，Min-Add 卷积同理要求下凸。

考虑处理出 \(h,g\) 的差分数组，则由于上凸性它们单降。那么原要求等价于在 \(g\) 中选出最大的 \(j\) 个差分和 \(h\) 中最大的 \(i-j\) 个差分来得到 \(f_i\)（差不多这个意思，并不是特别精确，详见代码）。贪心一下即可。由于它们本就单降，所以只需要 \(O(n)\) 归并排序即可。

模板

inline vec<ll> mincowski(vec<ll> a,vec<ll> b){
    per(i,a.size()-1,1)a[i]-=a[i-1];
    per(i,b.size()-1,1)b[i]-=b[i-1];
    vec<ll> c(a.size()+b.size()-1);
    merge(a.begin()+1,a.end(),b.begin()+1,b.end(),c.begin()+1);
    c[0]=a[0]+b[0];
    repl(i,1,c.size())c[i]+=c[i-1];
    return c;
}

优化 DP

如果 DP 值具有凸性且支持区间合并，使用类 Max-Add 卷积转移，那么就可以分治，然后闵可夫斯基和合并，总层数是 \(\log n\) 级别的，每一层可以 \(O(n)\) 解决，总复杂度 \(O(n\log n)\)。

例题

LG11459

注意代码中我把多项式加法重载为取 \(\min\) 操作了，问就是懒得改。。

发布在洛谷的题解

code

const int L=3,N=3e5+5;

int len,n;
string s;
ll c[N],b[N];
struct node{
    vec<ll> v[L][L];
    node(){rep(i,0,2)rep(j,0,2)v[i][j].resize(1,0);}
};
inline void operator+=(vec<ll> &a,const vec<ll> &b){
    if(a.size()<b.size())a.resize(b.size(),INF);
    repl(i,0,b.size())chmin(a[i],b[i]);
}
inline vec<ll> mincowski(vec<ll> a,vec<ll> b){
    per(i,a.size()-1,1)a[i]-=a[i-1];
    per(i,b.size()-1,1)b[i]-=b[i-1];
    vec<ll> c(a.size()+b.size()-1);
    merge(a.begin()+1,a.end(),b.begin()+1,b.end(),c.begin()+1);
    c[0]=a[0]+b[0];
    repl(i,1,c.size())c[i]+=c[i-1];
    return c;
}

node solve(int l,int r){
    node res;
    if(r-l+1<(len<<1)){
        rep(i,0,r-l+1-len)res.v[i][r-(l+i+len-1)].resize(2,b[l+i]);
    }else{
        int m=l+r>>1;
        node lres=solve(l,m),rres=solve(m+1,r);
        repl(lf,0,len)repl(rt,0,len){
            res.v[lf][rt]+=mincowski(lres.v[lf][0],rres.v[0][rt]);
            rep(k,1,len-1)res.v[lf][rt]+=mincowski(mincowski(lres.v[lf][k],rres.v[len-k][rt]),{0,b[m-k+1]});
        }
    }
    per(i,len-1,1)repl(j,0,len)res.v[i-1][j]+=res.v[i][j];
    per(j,len-1,1)repl(i,0,len)res.v[i][j-1]+=res.v[i][j];
    return res;
}

inline void Main(){
    read(len,n,s);s=" "+s;
    rep(i,1,n)read(c[i]);
    rep(i,1,n-len+1){
        b[i]=(s[i]!='M')*c[i];
        repl(j,1,len)b[i]+=(s[i+j]!='O')*c[i+j];
    }
    auto f=solve(1,n);
    rep(k,1,n/len)put(f.v[0][0][k]);
}