一类暴力搜索解决生成函数问题解法简记

更新日志

2025/06/26：开工。

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前言

做到两道这个套路，感觉有点经典，简单记录一下。

概念

考虑一个生成函数展开后如果有一部分不好简化，且大概长下面这个形式：

\[(1-a_1x^{k_1})(1-a_2x^{k_2})\dots(1-a_{n}x^{k_n}) \]

并且 \(n\) 足够小使得 \(2^n\) 可以通过，那么就可以考虑这种做法。

思路

考虑深搜暴力展开上式后未合并的每一项。

具体的，对每一个因子，递归乘上 \(1\) 和乘上 \(-ax^k\) 的两种情况（举个例子），实时记录当前项的系数和次数。

我们最后肯定是要求某个次项的系数，上述递归完全部因子后，将当前项与生成函数的其余部分结合，更新要求的项的系数答案。

例题

CF451E

直接给出生成函数：

\[(1-x^{f_1+1})(1-x^{f_2+1})\dots(1-x^{f_n+1})\sum_{i=0}^{\infty}\binom{n+i-1}{n-1}x^i \]

组合数部分显然可以 \(O(n)\) 求得，我们考虑用上述解法解决左边部分，得到一 \(k\) 次项后乘上组合数部分 \(s-k\) 次项系数即可。注意 \(k\le s\)。

inline mint calc(ll k){
    mint res=1;
    rep(i,1,n-1)res*=(k+i)%mod;
    res*=iv[n-1];
    return res;
}
void dfs(int now,mint val,ll key){
    if(key>s)return;
    if(now==n+1)return ans+=val*calc(s-key),void();
    dfs(now+1,val,key);dfs(now+1,0-val,key+f[now]+1);
}
inline void Main(){
    read(n,s);
    rep(i,1,n)read(f[i]);
    dfs(1,1,0);
    put(ans);
}