二项式定理 Binomial Theorem

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2025/06/26：开工。

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前言

值得注意的是，二项式定理的证明在 OI 中几乎没用，所以本篇文章主要介绍二项式定理的公式及其在生成函数中的常见作用。

二项式定理

二项式定理其实在 OI 中也不常用……或者说几乎没有算法以其为中心。

二项式定理描述了 \((a+b)^n\) 的展开式。

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k,n\in N^* \]

二项式系数 \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},0\le k\le n\)。

广义二项式定理

这个就常用多了（然而生成函数其实也较为冷门……）

其实就是消去了 \(n\) 为正整数的要求。

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \]

其中广义二项式系数 \(\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}\)。

广义二项式定理在生成函数中的常见应用

生成函数中这个东西非常常见：\(\frac{1}{1-x}\)，以及由其引申出的各种式子。

可以说，绝大部分 OGF 问题都离不开二项式定理。（后文均使用二项式定理指代广义二项式定理）

我们以 \(\frac{1}{1-x}\) 为例，展示如何展开这个式子：

\[\begin{align*} (\frac{1}{1-x})^n&=(1-x)^{-n}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-n}{k}(-1)^kx^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-n)(-n-1)\dots(-n-k+1)}{k!}(-1)^kx^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{n(n+1)\dots(n+k-1)}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}x^k\\ \end{align*} \]

最后这个式子是一个经典的生成函数形式。这是个很常见的应用（在 OGF 问题中）。