线性求逆元

更新日志

20250228：开工。

20250325：鸽了挺久……补充证明。

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用处

可以 \(O(p)\) 求出 \(1\) 至 \(p-1\) 关于 \(p\) 的逆元。

证明

对于当前 \(i\)，我们设 \(p=ki+r\)，则：

\[\begin{align*} ki+r&\equiv0&\pmod p\\ ki(i^{-1}r^{-1})+r(i^{-1}r^{-1})&\equiv0&\pmod p\\ kr^{-1}+i^{-1}&\equiv0&\pmod p\\ i^{-1}&\equiv-kr^{-1}&\pmod p\\ i^{-1}&\equiv-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor(p\bmod i)^{-1}&\pmod p \end{align*} \]

模板

inv[1]=1;
rep(i,2,p-1)inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;