平衡树（FHQ-Treap/无旋Treap）
更新日志
2025/02/27：更新区间修改，附增文艺平衡树代码。2025/04/27：重构，更新模板。
概念
FHQ-Treap 是一种平衡树。
我认为它的本质作用是动态维护一个数列，一个常用作用是维护一个多重集。
实现
Treap
Treap 是 Tree 和 Heap 的结合体，它同时满足堆和二叉搜索树的性质。
更具体地，每一个节点都有两个属性，一个满足堆，一个满足二叉搜索树。
这个定义使得 Treap 可以维护多重集，但 FHQ-Treap 与其并不完全相同。
FHQ-Treap
FHQ-Treap 其实并不需要满足二叉搜索树的性质。
它维护了一棵树，每个节点对应原数列的一个元素，中序遍历这颗树就可以得到原序列。
当我们给每个节点随机赋值一个权值，使得整棵树的权值满足堆性质（大根堆小根堆随意），那么整棵树的树高将会维持在大约 \(O(\log n)\) 级别。
这使得我们可以在这颗树上搞很多暴力操作。
操作
核心操作
这两个操作是 FHQ-Treap 的最核心的操作，其余所有操作都围绕它们展开。
本质上来说，只有这两个操作会改变树的形态。
一个体现是节点的 update 以及 pushdown 只需要在这两个函数里加就行了。
Merge
合并两棵 Treap，使得新树对应序列就是第二棵树的序列拼接在第一棵树的序列后面。
也就是维护中序遍历顺序，同时维护堆序。
void merge(int a,int b,int &rt){
if(!a||!b)return rt=a+b,void();
if(ns[a].pri>ns[b].pri){
merge(ns[a].rson,b,ns[a].rson);
update(a);rt=a;
}else{
merge(a,ns[b].lson,ns[b].lson);
update(b);rt=b;
}
}
Split
把一棵树分裂成两个部分，前一部分包括了原树的前 \(k\) 个元素。
类似于二分，找到那个分界的位置，同时一刀切。因此你需要更新沿途节点的左右子节点
void split(int x,int k,int &rta,int &rtb){
if(!x)return rta=rtb=0,void();
if(k>ns[ns[x].lson].siz)rta=x,split(ns[x].rson,k-ns[ns[x].lson].siz-1,ns[x].rson,rtb);
else split(ns[x].lson,k,rta,ns[x].lson),rtb=x;
update(x);
}
基本操作
Getrnk
给出一个节点，返回这个节点在原树中的编号，也就是序列中的第几个元素。
这个函数其实不常见，并且有一定的局限性。如果你不需要它的话，那么你也就无需维护父节点编号。但事实上，如果你需要动态维护区间，这个函数还是很有用的，故而还是加上。
可惜的是，可持久化平衡树下，你无法维护父节点。
一路往上走，如果是父节点的右节点，就加上父节点的左子树大小及其本身。
注意，如果你的区间操作涉及左右子树互换，那么这个函数中需要先把到祖先一路的标记都 pushdown 下来。
int getrnk(int idx,int rt){
int res=ns[ns[idx].lson].siz+1;
for(;idx!=rt;idx=ns[idx].fa)res+=(idx==ns[ns[idx].fa].rson?ns[ns[ns[idx].fa].lson].siz+1:0);
return res;
}
Getidx
找到第 \(rnk\) 个节点的编号。二分即可。
int getidx(int rnk,int rt){
if(ns[ns[rt].lson].siz==rnk-1)return rt;
if(ns[ns[rt].lson].siz>=rnk)return getidx(rnk,ns[rt].lson);
else return getidx(rnk-ns[ns[rt].lson].siz-1,ns[rt].rson);
}
二叉搜索树操作
维护可重集只是 FHQ-Treap 的一个功能，因此把这部分函数单独放一块讲。
除了 remove 函数以外，调用其他函数时必须满足这颗树是二叉搜索树。
Getrnk_v
获取所有值小于要求 \(val\) 的元素数量 \(+1\)。
搜索就行。
int getrnk_v(ll val,int rt){
if(!rt)return 1;
if(ns[rt].val<val)return ns[ns[rt].lson].siz+1+getrnk_v(val,ns[rt].rson);
else return getrnk_v(val,ns[rt].lson);
}
Getidx_v
找到第一个大于等于要求 \(val\) 的结点编号。
搜索就行。
int getidx_v(ll val,int rt){
if(!rt)return 0;
if(ns[rt].val<val)return getidx_v(val,ns[rt].rson);
int res=getidx_v(val,ns[rt].lson);
if(!res)res=rt;
return res;
}
Insert
插入一个指定节点到指定树。
考虑到把原树分成两部分，左边全部小于等于新节点，右边同理，然后把三者合并即可。
void insert(int idx,int &rt){
int a,b;
split(rt,getrnk_v(ns[idx].val,rt)-1,a,b);
merge(a,idx,a),merge(a,b,rt);
}
remove
从指定树中移除一个指定节点。
void remove(int idx,int &rt){
int a,b,c;
split(rt,getrnk(idx,rt)-1,a,b),split(b,1,b,c);
merge(a,c,rt);
}
区间修改懒标记
在所有涉及子树形态变换的函数以及查询函数递归下一层（最好在判断子树信息语句之前）下传标记即可。和线段树差不多。
注意 getrnk 函数需要预先从上到下把一路的标记下传。
模板
序列维护精简版
auto rnd=mt19937_64(time(0));
struct fhqtreap{
struct node{
int lson,rson,fa;
int siz;
ll pri;
ll val;
node(){siz=1,pri=rnd(),val=0;}
}ns[N];
fhqtreap(){ns[0].siz=0;}
void update(int x){
ns[x].fa=0;
ns[x].siz=ns[ns[x].lson].siz+1+ns[ns[x].rson].siz;
ns[ns[x].lson].fa=ns[ns[x].rson].fa=x;
}
void split(int x,int k,int &rta,int &rtb){
if(!x)return rta=rtb=0,void();
if(k>ns[ns[x].lson].siz)rta=x,split(ns[x].rson,k-ns[ns[x].lson].siz-1,ns[x].rson,rtb);
else split(ns[x].lson,k,rta,ns[x].lson),rtb=x;
update(x);
}
void merge(int a,int b,int &rt){
if(!a||!b)return rt=a+b,void();
if(ns[a].pri>ns[b].pri){
merge(ns[a].rson,b,ns[a].rson);
update(a);rt=a;
}else{
merge(a,ns[b].lson,ns[b].lson);
update(b);rt=b;
}
}
int getrnk(int idx,int rt){
int res=ns[ns[idx].lson].siz+1;
for(;idx!=rt;idx=ns[idx].fa)res+=(idx==ns[ns[idx].fa].rson?ns[ns[ns[idx].fa].lson].siz+1:0);
return res;
}
int getidx(int rnk,int rt){
if(ns[ns[rt].lson].siz==rnk-1)return rt;
if(ns[ns[rt].lson].siz>=rnk)return getidx(rnk,ns[rt].lson);
else return getidx(rnk-ns[ns[rt].lson].siz-1,ns[rt].rson);
}
int getrnk_v(ll val,int rt){
if(!rt)return 1;
if(ns[rt].val<val)return ns[ns[rt].lson].siz+1+getrnk_v(val,ns[rt].rson);
else return getrnk_v(val,ns[rt].lson);
}
}fhq;
二叉搜索树封装版
auto rnd=mt19937_64(time(0));
struct fhqtreap{
struct node{
int lson,rson,fa;
int siz;
ll pri;
ll val;
node(){siz=1,pri=rnd(),val=0;}
}ns[N];
fhqtreap(){ns[0].siz=0;}
void update(int x){
ns[x].fa=0;
ns[x].siz=ns[ns[x].lson].siz+1+ns[ns[x].rson].siz;
ns[ns[x].lson].fa=ns[ns[x].rson].fa=x;
}
void split(int x,int k,int &rta,int &rtb){
if(!x)return rta=rtb=0,void();
if(k>ns[ns[x].lson].siz)rta=x,split(ns[x].rson,k-ns[ns[x].lson].siz-1,ns[x].rson,rtb);
else split(ns[x].lson,k,rta,ns[x].lson),rtb=x;
update(x);
}
void merge(int a,int b,int &rt){
if(!a||!b)return rt=a+b,void();
if(ns[a].pri>ns[b].pri){
merge(ns[a].rson,b,ns[a].rson);
update(a);rt=a;
}else{
merge(a,ns[b].lson,ns[b].lson);
update(b);rt=b;
}
}
int getrnk(int idx,int rt){
int res=ns[ns[idx].lson].siz+1;
for(;idx!=rt;idx=ns[idx].fa)res+=(idx==ns[ns[idx].fa].rson?ns[ns[ns[idx].fa].lson].siz+1:0);
return res;
}
int getidx(int rnk,int rt){
if(ns[ns[rt].lson].siz==rnk-1)return rt;
if(ns[ns[rt].lson].siz>=rnk)return getidx(rnk,ns[rt].lson);
else return getidx(rnk-ns[ns[rt].lson].siz-1,ns[rt].rson);
}
int getrnk_v(ll val,int rt){
if(!rt)return 1;
if(ns[rt].val<val)return ns[ns[rt].lson].siz+1+getrnk_v(val,ns[rt].rson);
else return getrnk_v(val,ns[rt].lson);
}
int getidx_v(ll val,int rt){
if(!rt)return 0;
if(ns[rt].val<val)return getidx_v(val,ns[rt].rson);
int res=getidx_v(val,ns[rt].lson);
if(!res)res=rt;
return res;
}
void insert(int idx,int &rt){
int a,b;
split(rt,getrnk_v(ns[idx].val,rt)-1,a,b);
merge(a,idx,a),merge(a,b,rt);
}
void remove(int idx,int &rt){
int a,b,c;
split(rt,getrnk(idx,rt)-1,a,b),split(b,1,b,c);
merge(a,c,rt);
}
}fhq;
区间懒标记模板
你只需要按需更改 update 和 pushdown 函数即可。
auto rnd=mt19937_64(time(0));
struct fhqtreap{
struct node{
int lson,rson,fa;
int siz;
ll pri;
node(){siz=1,pri=rnd();}
}ns[N];
fhqtreap(){ns[0].siz=0;}
void update(int x){
ns[x].fa=0;
ns[x].siz=ns[ns[x].lson].siz+1+ns[ns[x].rson].siz;
ns[ns[x].lson].fa=ns[ns[x].rson].fa=x;
}
void pushdown(int x){
}
void split(int x,int k,int &rta,int &rtb){
if(!x)return rta=rtb=0,void();
pushdown(x);
if(k>ns[ns[x].lson].siz)rta=x,split(ns[x].rson,k-ns[ns[x].lson].siz-1,ns[x].rson,rtb);
else split(ns[x].lson,k,rta,ns[x].lson),rtb=x;
update(x);
}
void merge(int a,int b,int &rt){
if(!a||!b)return rt=a+b,void();
if(ns[a].pri>ns[b].pri){
pushdown(a);
merge(ns[a].rson,b,ns[a].rson);
update(a);rt=a;
}else{
pushdown(b);
merge(a,ns[b].lson,ns[b].lson);
update(b);rt=b;
}
}
int getrnk(int idx,int rt){
vec<int> v;
v.pub(idx);
for(;idx!=rt;idx=ns[idx].fa)v.pub(ns[idx].fa);
int res=0;
per(i,v.size()-1,0){
pushdown(v[i]);
if(!i||ns[v[i]].rson==v[i-1])res+=ns[ns[v[i]].lson].siz+1;
}
return res;
}
int getidx(int rnk,int rt){
pushdown(rt);
if(ns[ns[rt].lson].siz==rnk-1)return rt;
if(ns[ns[rt].lson].siz>=rnk)return getidx(rnk,ns[rt].lson);
else return getidx(rnk-ns[ns[rt].lson].siz-1,ns[rt].rson);
}
}fhq;
例题
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<int,ll> pil;
typedef pair<ll,int> pli;
template<typename T> using vec=vector<T>;
template<typename T> using grheap=priority_queue<T>;
template<typename T> using lrheap=priority_queue<T,vector<T>,greater<T>>;
#define fir first
#define sec second
#define pub push_back
#define pob pop_back
#define puf push_front
#define pof pop_front
#define chmax(a,b) a=max(a,b)
#define chmin(a,b) a=min(a,b)
#define rep(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define per(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define repl(i,x,y) for(int i=(x);i<(y);i++)
#define file(f) freopen(#f".in","r",stdin);freopen(#f".out","w",stdout);
struct mint {
int x,mod;
inline mint(int o=0,int p=998244353) {x=o;mod=p;}
inline mint & operator=(ll o){return x=o%mod,(x+=mod)>=mod&&(x-=mod),*this;}
inline mint & operator+=(mint o){return (x+=o.x)>=mod&&(x-=mod),*this;}
inline mint & operator-=(mint o){return (x-=o.x)<0&&(x+=mod),*this;}
inline mint & operator*=(mint o){return x=(ll)x*o.x%mod,*this;}
inline mint & operator^=(ll b){mint res(1);for(;b;b>>=1,*this*=*this)if(b&1)res*=*this;return x=res.x,*this;}
inline mint & operator^=(mint o){return *this^=o.x;}
inline mint & operator/=(mint o){return *this*=(o^=(mod-2));}
inline mint & operator++(){return *this+=1;}
inline mint & operator--(){return *this-=1;}
inline mint operator++(int o){mint res=*this;return *this+=1,res;}
inline mint operator--(int o){mint res=*this;return *this-=1,res;}
friend inline mint operator+(mint a,mint b){return a+=b;}
friend inline mint operator-(mint a,mint b){return a-=b;}
friend inline mint operator*(mint a,mint b){return a*=b;}
friend inline mint operator/(mint a,mint b){return a/=b;}
friend inline mint operator^(mint a,ll b){return a^=b;}
friend inline mint operator^(mint a,mint b){return a^=b;}
friend inline bool operator<(mint a,mint b){return a.x<b.x;}
friend inline bool operator>(mint a,mint b){return a.x>b.x;}
friend inline bool operator<=(mint a,mint b){return a.x<=b.x;}
friend inline bool operator>=(mint a,mint b){return a.x>=b.x;}
friend inline bool operator==(mint a,mint b){return a.x==b.x;}
friend inline istream & operator>>(istream &in,mint &o){ll x;return in>>x,o=x,in;}
friend inline ostream & operator<<(ostream &ot,mint o){return ot<<o.x,ot;}
};
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N=1e5+5;
int n,m;
auto rnd=mt19937_64(time(0));
struct fhqtreap{
struct node{
int lson,rson,fa;
int siz;
ll pri;
ll val;
node(){siz=1,pri=rnd(),val=0;}
}ns[N];
fhqtreap(){ns[0].siz=0;}
void update(int x){
ns[x].fa=0;
ns[x].siz=ns[ns[x].lson].siz+1+ns[ns[x].rson].siz;
ns[ns[x].lson].fa=ns[ns[x].rson].fa=x;
}
void split(int x,int k,int &rta,int &rtb){
if(!x)return rta=rtb=0,void();
if(k>ns[ns[x].lson].siz)rta=x,split(ns[x].rson,k-ns[ns[x].lson].siz-1,ns[x].rson,rtb);
else split(ns[x].lson,k,rta,ns[x].lson),rtb=x;
update(x);
}
void merge(int a,int b,int &rt){
if(!a||!b)return rt=a+b,void();
if(ns[a].pri>ns[b].pri){
merge(ns[a].rson,b,ns[a].rson);
update(a);rt=a;
}else{
merge(a,ns[b].lson,ns[b].lson);
update(b);rt=b;
}
}
int getrnk(int idx,int rt){
int res=ns[ns[idx].lson].siz+1;
for(;idx!=rt;idx=ns[idx].fa)res+=(idx==ns[ns[idx].fa].rson?ns[ns[ns[idx].fa].lson].siz+1:0);
return res;
}
int getidx(int rnk,int rt){
if(ns[ns[rt].lson].siz==rnk-1)return rt;
if(ns[ns[rt].lson].siz>=rnk)return getidx(rnk,ns[rt].lson);
else return getidx(rnk-ns[ns[rt].lson].siz-1,ns[rt].rson);
}
int getrnk_v(ll val,int rt){
if(!rt)return 1;
if(ns[rt].val<val)return ns[ns[rt].lson].siz+1+getrnk_v(val,ns[rt].rson);
else return getrnk_v(val,ns[rt].lson);
}
int getidx_v(ll val,int rt){
if(!rt)return 0;
if(ns[rt].val<val)return getidx_v(val,ns[rt].rson);
int res=getidx_v(val,ns[rt].lson);
if(!res)res=rt;
return res;
}
void insert(int idx,int &rt){
int a,b;
split(rt,getrnk_v(ns[idx].val,rt)-1,a,b);
merge(a,idx,a),merge(a,b,rt);
}
void remove(int idx,int &rt){
int a,b,c;
split(rt,getrnk(idx,rt)-1,a,b),split(b,1,b,c);
merge(a,c,rt);
}
}fhq;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>m;
int rt=0;
// rep(i,1,n)cin>>fhq.ns[i].val,insert(i,rt);
rep(i,1,m){
int o,x;cin>>o>>x;
if(o==1)fhq.ns[++n].val=x,fhq.insert(n,rt);
if(o==2)fhq.remove(fhq.getidx_v(x,rt),rt);
if(o==3)cout<<fhq.getrnk_v(x,rt)<<"\n";
if(o==4)cout<<fhq.ns[fhq.getidx(x,rt)].val<<"\n";
if(o==5)cout<<fhq.ns[fhq.getidx(fhq.getrnk_v(x,rt)-1,rt)].val<<"\n";
if(o==6)cout<<fhq.ns[fhq.getidx(fhq.getrnk_v(x+1,rt),rt)].val<<"\n";
}
return 0;
}
这题其实很适合讲解的。首先，涉及区间操作。其次，左右子树互换，正好演示 getrnk 函数一路 pushdown 下来。而且这就是动态维护区间而非维护可重集的例子。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<int,ll> pil;
typedef pair<ll,int> pli;
template<typename T> using vec=vector<T>;
template<typename T> using grheap=priority_queue<T>;
template<typename T> using lrheap=priority_queue<T,vector<T>,greater<T>>;
#define fir first
#define sec second
#define pub push_back
#define pob pop_back
#define puf push_front
#define pof pop_front
#define chmax(a,b) a=max(a,b)
#define chmin(a,b) a=min(a,b)
#define rep(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define per(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define repl(i,x,y) for(int i=(x);i<(y);i++)
#define file(f) freopen(#f".in","r",stdin);freopen(#f".out","w",stdout);
struct mint {
int x,mod;
inline mint(int o=0,int p=998244353) {x=o;mod=p;}
inline mint & operator=(ll o){return x=o%mod,(x+=mod)>=mod&&(x-=mod),*this;}
inline mint & operator+=(mint o){return (x+=o.x)>=mod&&(x-=mod),*this;}
inline mint & operator-=(mint o){return (x-=o.x)<0&&(x+=mod),*this;}
inline mint & operator*=(mint o){return x=(ll)x*o.x%mod,*this;}
inline mint & operator^=(ll b){mint res(1);for(;b;b>>=1,*this*=*this)if(b&1)res*=*this;return x=res.x,*this;}
inline mint & operator^=(mint o){return *this^=o.x;}
inline mint & operator/=(mint o){return *this*=(o^=(mod-2));}
inline mint & operator++(){return *this+=1;}
inline mint & operator--(){return *this-=1;}
inline mint operator++(int o){mint res=*this;return *this+=1,res;}
inline mint operator--(int o){mint res=*this;return *this-=1,res;}
friend inline mint operator+(mint a,mint b){return a+=b;}
friend inline mint operator-(mint a,mint b){return a-=b;}
friend inline mint operator*(mint a,mint b){return a*=b;}
friend inline mint operator/(mint a,mint b){return a/=b;}
friend inline mint operator^(mint a,ll b){return a^=b;}
friend inline mint operator^(mint a,mint b){return a^=b;}
friend inline bool operator<(mint a,mint b){return a.x<b.x;}
friend inline bool operator>(mint a,mint b){return a.x>b.x;}
friend inline bool operator<=(mint a,mint b){return a.x<=b.x;}
friend inline bool operator>=(mint a,mint b){return a.x>=b.x;}
friend inline bool operator==(mint a,mint b){return a.x==b.x;}
friend inline istream & operator>>(istream &in,mint &o){ll x;return in>>x,o=x,in;}
friend inline ostream & operator<<(ostream &ot,mint o){return ot<<o.x,ot;}
};
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N=1e5+5;
int n,m;
auto rnd=mt19937_64(time(0));
struct fhqtreap{
struct node{
int lson,rson,fa;
int siz;
ll pri;
ll val;
int tag;
node(){siz=1,pri=rnd(),val=0;}
}ns[N];
fhqtreap(){ns[0].siz=0;}
void update(int x){
ns[x].fa=0;
ns[x].siz=ns[ns[x].lson].siz+1+ns[ns[x].rson].siz;
ns[ns[x].lson].fa=ns[ns[x].rson].fa=x;
}
void pushdown(int x){
if(ns[x].tag){
swap(ns[ns[x].lson].lson,ns[ns[x].lson].rson);
swap(ns[ns[x].rson].lson,ns[ns[x].rson].rson);
ns[ns[x].lson].tag^=1;ns[ns[x].rson].tag^=1;
ns[x].tag=0;
}
}
void split(int x,int k,int &rta,int &rtb){
if(!x)return rta=rtb=0,void();
pushdown(x);
if(k>ns[ns[x].lson].siz)rta=x,split(ns[x].rson,k-ns[ns[x].lson].siz-1,ns[x].rson,rtb);
else split(ns[x].lson,k,rta,ns[x].lson),rtb=x;
update(x);
}
void merge(int a,int b,int &rt){
if(!a||!b)return rt=a+b,void();
if(ns[a].pri>ns[b].pri){
pushdown(a);
merge(ns[a].rson,b,ns[a].rson);
update(a);rt=a;
}else{
pushdown(b);
merge(a,ns[b].lson,ns[b].lson);
update(b);rt=b;
}
}
int getrnk(int idx,int rt){
vec<int> v;
v.pub(idx);
for(;idx!=rt;idx=ns[idx].fa)v.pub(ns[idx].fa);
int res=0;
per(i,v.size()-1,0){
pushdown(v[i]);
if(!i||ns[v[i]].rson==v[i-1])res+=ns[ns[v[i]].lson].siz+1;
}
return res;
}
int getidx(int rnk,int rt){
pushdown(rt);
if(ns[ns[rt].lson].siz==rnk-1)return rt;
if(ns[ns[rt].lson].siz>=rnk)return getidx(rnk,ns[rt].lson);
else return getidx(rnk-ns[ns[rt].lson].siz-1,ns[rt].rson);
}
}fhq;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
int rt=0;
rep(i,1,n)fhq.ns[i].val=i,fhq.merge(rt,i,rt);
rep(i,1,m){
int l,r;cin>>l>>r;
int a,b,c;
fhq.split(rt,l-1,a,b);
fhq.split(b,r-l+1,b,c);
swap(fhq.ns[b].lson,fhq.ns[b].rson);
fhq.ns[b].tag^=1;
fhq.merge(a,b,a);
fhq.merge(a,c,rt);
}
rep(i,1,n)cout<<fhq.ns[fhq.getidx(i,rt)].val<<" ";
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号