2025省选集训Day3-图论补充

今天主要内容是耳分解、双极定向和边三连通。

A. Quare [SNOI2013]

因为要求边权最小的包含每一个点的边双连通子图，所以要求的图一定可以耳分解。把 \(1\) 号点设为 \(G_0\)，每次加一条耳，状压 \(DP\) 这个过程。

B. 景点划分 [IOI2019]

不想用双极定向做，直接交原来的代码。

C. 白鹭兰

先建出圆方树，题意相当于在圆方树上选取一条方点构成的链，把选取的方点以外的连通的点都缩起来，使含圆点最多的连通快最小。

总之类似于树的直径的结论，我们枚举这个方点链的 \(LCA\)，它一定会选往重儿子和次重儿子的两条链走，所以用一个 \(DP\) 来得到每个点的答案。

求出来链首和链尾后就在原图上缩点，然后就是双极定向问题了。双极定向问题就是模拟删叶子的过程，有点复杂，类似于拓扑排序，还是直接看代码比较好。

D. 边三连通分量

考虑一条边要怎样会成为边三连通的割边，首先对于边双连通的割边一定是，接下来的情况我们可以随机赋权来找。

给每条非树边随机设一个权，每条树边的权值是包含它的非树边的异或和。这个可以用树上差分在 \(Tarjan\) 的时候求得。如果一条树边的权值和某条非树边一模一样，那么说明这条树边就是割边。感性理解一下就是如果割掉这条边和那一条对应的非树边，下面就走不到上面去了。还有一种情况就是如果两条树边的权值相同，则这两条树边也是割边，同样感性理解一下就是割掉这两条边后，这两条边中间的点就走不到外面去了。

所以我们可以处理出哪些树边是割边，这样就够了，然后同样可以用随机赋权的方式来对每个边三连通分量赋权，然后统计答案。

E. Economic One-way Roads

和第一题几乎一样，只不过由于每条边都要定向，就先对答案加 \(min\{a_{i, j}, a_{j, i}\}\)，然后把边权设为 \(a_{i,j}-min\{a_{i, j}, a_{j, i}\}\)，就行了。

F. App 管理器

注意到 \(n\) 的范围只到 \(5000\)，我们可以对于每条边单独考虑，如果定向为 \(a\to b\)，且割掉 \(a\) 和 \(b\) 之间的边后能从 \(b\) 走到 \(a\)，就说明是成立的。暴力就行了。