四边形不等式

首先介绍四边形不等式 a <= b <= c <= d 用于解决一个对于单调性的神秘不等式
f(i) = 对于所有函数参数范围内的数op(i)
设代价函数为w(i , j) 那么 w(a , c) + w(b , d) <= w(a , d) + w(b , c)
那么我们的最优决策将满足单调性
具体证明是这样的!
第一个反证法：显然，这两个式子唯一影响不等号变化的是b , c。
我们设一个对于w(a , b)的最优解(最大或最小，等等都是类似的，这里我用最小)，当然就叫这个东西为p(x)好了
对于c < d 有条件 a = p(d) < p(c) = b 根据这两个条件，我们有 w(a , d) < = w(b , d)
和w(b , c) < w(a , c) 移一下项，我们可以发现有 w(a , d) - w(b , d) <= 0 < w(a , c) - w(b , c)
链接起来会发现与原四边形不等式的变形 w(a , c) - w(b , c) <= w(a , d) - w(b , d)相反，证毕。
还有很有意思的地方通过二阶差分，即差分的差分，可以发现，对于具有单调性的w(i , j)，他们的差分必须都需要与i高度相关，而不是j
那就再做一遍差分，让这个差分 <= 0再变化变化式子就可以 ，ΔⱼΔᵢw(i,j) = [w(i+1,j+1) - w(i+1,j)] - [w(i,j+1) - w(i,j)] ≤ 0
w(i,j+1) + w(i+1,j) ≥ w(i,j) + w(i+1,j+1)，变成了四边形不等式！，当然就二阶差分而言，不能体现着状态 i 增大，最优决策 j 也增大。
我们还需要再用四边形不等式来证明。