[BZOJ4870/LOJ2143][Shoi2017]组合数问题

题目链接：

BZOJ4870 LOJ2143

神仙思维题。

直接推式子是找不到什么性质的，我们来考虑一下这个式子的意义：

在\(nk\)个物品中，选\(x(x\mod{k}\equiv r)\)个物品的方案数

那么可以DP：设\(f[i][j]\)表示前\(i\)个物品，选\(x(x\mod{k}\equiv j)\)个物品的方案数

则有：\(f[i][j]=f[i-1][(j-1)\mod{k}]+f[i-1][j]\)

那么就可以矩阵乘法优化了。

时间复杂度 \(O(k^2\log n)\)

注意特判\(k=1\)的情况

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define rint register int
typedef long long ll;

int n,p,k,r;

struct Matrix
{
    int n,m,a[55][55];
    inline Matrix(int ns,int ms){n=ns,m=ms;memset(a,0,sizeof a);}

    inline Matrix operator*(const Matrix &o)const
    {
        Matrix Res(n,o.m);
        for(rint i=0;i<n;++i)
            for(rint k=0;k<m;++k)
                for(rint j=0;j<o.m;++j)
                    Res.a[i][j]=(Res.a[i][j]+(ll)a[i][k]*o.a[k][j])%p;
        return Res;
    }
};

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&k,&r);
    Matrix f(1,k),g(k,k);
    f.a[0][0]=1;
    for(rint i=0;i<k;++i)++g.a[i][i],++g.a[i][(i+1)%k];//不直接赋值，防止k=1特殊情况
    for(ll b=(ll)n*k;b;b>>=1,g=g*g)if(b&1)f=f*g;
    printf("%d\n",f.a[0][r]);
    return 0;
}