[POJ3734]Blocks

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POJ3734

因为不同的排列算不同的方案，所以要用到指数生成函数。

有偶数个的颜色生成函数为：\(\sum_{i=2j,j\in\mathbb{N}}\limits \frac{x^i}{i!}\)

随意个数的颜色生成函数则为\(\sum_{i=0}^\infty\limits \frac{x^i}{i!}\)

那么乘起来：

\[(\sum_{i=2j,j\in\mathbb{N}}\frac{x^i}{i!})^2(\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!})^2 \]

后者即为\(e^{2x}\)

然后是对前一项的推导：

\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\)

\(e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\)

那么有\(e_x+e^{-x}=2(\sum_{i=2j,j\in\mathbb{N}}\limits \frac{x^i}{i!})\)

所以最终整个题目的生成函数为：\((\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2e^{2x}\)

化简得\(\frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4}\)

常数项忽略，\(e^{kx}\)的\(n\)次项系数为\(\frac{k^n}{n!}\)

代入得\(\frac{4^n+2^{n+1}}{4n!}\)

将\(n!\)乘回去，最终有\(\frac{4^n+2^{n+1}}{4}=4^{n-1}+2^{n-1}\)

快速幂即可。

时间复杂度 \(O(Tlog_2n)\)

代码：

#include <cstdio>
typedef long long ll;

int t,n;
const int Mod=10007;

int Pow(int a,int b)
{
	int Res=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%Mod)
		if(b&1)Res=Res*a%Mod;
	return Res%Mod;
}

int main()
{
	for(scanf("%d",&t);t--;)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",(Pow(4,n-1)+Pow(2,n-1))%Mod);
	}
	return 0;
}