[数论]线性基学习笔记

\(Q:\)这都是些什么东西？听起来就觉得很毒瘤难啊？？

\(A:\)这就是一种反人类的工具。

先来下定义：

• 向量加法

  对于两个向量\(a=(a_1,a_2,\dots,a_n),b=(b_1,b_2,\dots,b_n)\)，有

  \[c=a+b=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n) \]

• 标量乘法

  对于向量\(a=(a_1,a_2,\dots,a_n)\)，常数\(b\)，有

  \[c=ab=(a_1b,a_2b,\dots,a_nb) \]

• 线性空间

  设有\(n\)个向量\(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，若向量\(b=c_1a_1+c_2a_2+\dots+c_na_n\)，其中\(c_1,c_2,\dots,c_n\)为常数，则\(b\)可以由\(a_1,a_2,\dots,a_n\)表出，称所有这样的\(b\)的集合为一个“线性空间”，\(a_1,a_2,\dots,a_n\)为此线性空间的生成子集。

• 线性相关

  若对于向量集合\(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，存在\(a_i\)能被除\(a_i\)以外的\(a_1\sim a_n\)表出，则称这些向量“线性相关”，不则称为“线性无关”。

• 基

  基则是线性空间的线性无关生成子集，基的向量个数称为线性空间的维数。

• 秩

  对于一个\(N\times M\)的矩阵，称矩阵的每一行为一个长度为\(M\)的行向量，所表示的线性空间的维数称为矩阵的秩（行秩）。同理可定义列向量和列秩。

\(Q:\)可以说人话吗？

嘛其实上面的东西用处不是很大，只是介绍一下正式一点。

举个例子\(.jpg\)

线性空间 \(\Rightarrow\) 平面直角坐标系

线性相关 \(\Rightarrow\) \((0,1,1)=(0,0,1)+(0,1,0)\)

基 \(\Rightarrow\) \((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\)即为一组基底（\(x,y,z\)轴的单位）

秩 \(\Rightarrow\) \(3\)

那么对于一个矩阵进行消元，剩下的显然构成一组基底。

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P3812 【模板】线性基

• 模板题。

• 如何构造线性基？

设线性基第\(i\)位对应的数为\(p_i\)。

对每个数\(a_j\)从高位向低查询，若有第\(k\)位，则将\(a_jxor\)上\(p_k\)，否则插入并\(break\)。

显然，一个数要么插入线性基，要么能被其他数\(xor\)而成。

• 如何查询最值？

弹性的从高到低遍历每一位，若\(i\)位为\(0\)则\(xor\)上\(p_i\)。

正确性显然 因为每一位不会在后面被改变，所以为\(1\)是最优的。

\(So\ Easy...?\)

时间复杂度 \(O(nlog_2a)\)

空间复杂度 \(O(log_2a)\)

代码：

#include <cstdio>

int n;
long long a,p[55];//各基底

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%lld",&a);
		for(int i=51;i>=0;--i)
			if(a>>i&1)
				{if(p[i])a^=p[i];//已有对应基底
				else p[i]=a,i=0;}//插入，结束
	}
	long long Ans=0;
	for(int i=51;i>=0;--i)
		if(!(Ans>>i&1))
			Ans^=p[i];//贪心求解
	printf("%lld\n",Ans);
	return 0;
}

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\(Q:\)学了这个之后我们可以干什么呢？

\(A:\)我们可以切黑题 解决许多与\(xor\)有关的题目了。

以上。逃去刷题了