斜率优化初步

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引言（瞎扯），听_rqy大佬说斜率优化更应该叫做截距优化
rqy大佬说的好像很有道理qwq。

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斜率优化，概括的来讲就是优化形如\(f_i=a_i+Max^{i-1}_{j=0}(y_j-k_ix_j)\)其中\(k_i\)是递减的（或\(Max\)换成\(Min\)，\(k_i\)是递增的）的一种方法

其中\(a_i\)是一个和\(j\)无关的常数，然后我们看\(Max\)中，就只有\(k_i\)是与\(j\)无关的常数

如果暴力\(dp\)的话，时间复杂度就是\(O(N^2)\)，我们还需考虑优化

状态是\(O(N)\)的，已经够优了。考虑优化转移到\(O(1)\)。

我们将方程中的\(y_j,x_j\)拿出来，看做点\((x_j,y_j)\)，然后放到笛卡尔坐标系中（嘿，真洋呼）

像这样

然后将直线\(y=kx+b\)带入

然后我们选取一点，算出将直线\(y=kx+b\)平移至改点，然后算出平移后直线的截距
\(y-y_i=k(x-x_i)\)
\(y=kx+y_i-kx_i\)截距就是\(y_i-kx_i\)。发现就是所需的数值

然后我们揭下来就是利用其加速决策.
假设我们在进行\(k_i\)时的决策，我们，我们可以找到一条\(y=kx\)的直线，然后在我们1~i点组成的图形中找到一个截距最大的点，就可以进行转移了。很巧的是，这条符合条件的直线只经过这个点，不经过其他点之间之间的连线(或只有多个点）

such as

然后我们还有个性质,\(k_i\)是递减的，然后我们在进行决策时候，就可以让上图中红线的绕这个图形进行旋转，随着\(i\)的增加，逐渐转到绿线所到的位置。

就像这样（ps：作图时没考虑好qwq

然后我们就会发现，有些点是我们考虑都不会考虑的，如下图所示

这一部分我们就丢掉不管了，反正他不是最优的。

然后我们发现我们进行完这一步，就好像凸出来一块。然后我们按照如此规则，修整一下整个图形

这个东西叫做凸壳

到此，我们先回忆一下。如何利用凸壳进行决策

然后对于一个\(i\)，我们先取得\(k_i\)，然后再从凸壳\(1-i\)中找到一条直线\(y=kx+b\)，使得其截距最大。

而所找到的直线不会穿过凸壳内部。

凸壳是怎么来的呢？在\(k\)递减的情况下，绕所有点所围成的。（就像墙上一堆钉子，拿一根小木棍绕着转，决定小木棍的方向的是最外边的两个点，而不是其内部的点，而最外面的点相邻的，对小木棍方向有决定的点连线，形成的图形就是凸壳（马马虎虎qwq））

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好，然后我们再来考虑维护凸壳，以及如何具体使用凸壳

如何维护插入一个点，使用单调队列，在我们改变直线斜率时，也就是旋转直线时，如果是顺时针旋转，则不用干其他的操作。如果是逆时针旋转，则需要进行一些维护操作

如下图

需要我们介入，将\(C\)点删除，那如何程序实现呢？

先不急，我们再来看一个更极端的栗子。

我们如何操作呢？

贪心的想，我们只比较\(E,F\)两个点，然后我们分别算一下新增点到\(E,F\)两条直线的斜率，若发现\(F\)的斜率比\(E\)的直线的斜率大，那我们就删除\(F\)，\(E\)点何时删除呢？

在我们比较\(D,E\)是删除，所以我们就使用单调队列，里面是斜率单减的。

void push(int i)//将第i个点加入
{
    while(tail-head>=1)//队列中至少要留两个元素，另外，因为我比较毒瘤，所以我的队首和队尾都是实指
    {
        int a=queue[tail],b=queue[tail-1];//去出后两个元素
        if((y[i]-y[a])*(x[i]-x[b])>(x[i]-x[a])*(y[i]-y[b]))//比较，听_rqy说是叉积
        //好高级的样子，其实就是两个截距式比较（我也不知道叫什么，必修二一点也没学，其实读者将左右对调对调，成为分数的形式，就能看出来为什么了。写成乘法快，还可以避免爆精）
            tail--;
        else	break;
    }
    queue[++tail]=i;
}

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然后就是取队首

暴力的想，每次按遍历所有点，取最大值

然后发现，竟然是单峰呀。然后我们再来改变斜率（递减），发现峰值所在的位置竟然递增

好好好，单调队列qwq。

其实这里你可以想象，一条直线就真的在凸壳上旋转，然后就会有个支点，使得这条直线绕他旋转，这个点就是当时直线截距最大的点。然后总是要离开这个支点的，然后到了下一个支点，下一个支点就是在另一个斜率时的峰顶qwq

void pop(int i)
{
    while(tail-head>=1)//需要保存两个点
    {
        int a=queue[head],b=queue[head+1];//取出前两个值
        if(y[a]-k[i]*x[a]<y[b]-k[i]*x[b])//保持单调性，排除掉不是最优解
            head++;
        else	break;
    }
    return ;
}

end.