数论函数与狄利克雷卷积

前言

本文介绍了：

• 常见的数论函数；
• 狄利克雷卷积。

数论函数

定义域为正整数的函数被称为数论函数，其也可被视为一个数列。
本文中的数论函数若无特殊说明，均满足 \(f(n)\neq0\)。

积性函数与完全积性函数的定义

对于一个数论函数 \(f\)，若它满足 \(\forall x,y\in\mathbb N^*,\gcd(x,y)=1\)，都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称 \(f\) 为积性函数。
若它满足 \(\forall x,y\in\mathbb N^*\)，都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称 \(f\) 为完全积性函数。

积性函数的性质

下面提到的 \(f\)、\(g\) 都是积性函数。

• \(f(1)=1\)。

证明：\(f(1\times 1)=f(1)f(1)\)，即 \(f(1)=1\)。

• \(h(x)=f(x^n)\) 是积性函数。

证明：\(h(xy)=f({(xy)}^n)=f(x^ny^n)=f(x^n)f(y^n)=h(x)h(y)\)，因此 \(h\) 是积性函数。

• \(h(x)=f^n(x)\) 是积性函数。

证明：\(h(xy)=f^n(xy)=(f(x)f(y))^n=f^n(x)f^n(y)=h(x)h(y)\)，因此 \(h\) 是积性函数。

• \(h(x)=f(x)g(x)\) 是积性函数。

证明：\(h(xy)=f(xy)g(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y)=f(x)g(x)\times f(y)g(y)=h(x)h(y)\)，因此 \(h\) 是积性函数。

• \(\displaystyle h(x)=\sum_{d\mid x}f(d)g\left(\dfrac{x}{d}\right)\) 是积性函数。

证明：

\[\begin{aligned} h(xy) &=\sum_{d\mid xy}f(d)g\left(\dfrac{xy}{d}\right)\\ &=\sum_{d_1\mid x,d_2\mid y}f(d_1d_2)g\left(\dfrac{xy}{d_1d_2}\right)\\ &=\sum_{d_1\mid x,d_2\mid y}f(d_1)f(d_2)g\left(\dfrac{x}{d_1}\right)g\left(\dfrac{y}{d_2}\right)\\ &=\sum_{d_1\mid x}f(d_1)g\left(\dfrac{x}{d_1}\right)\cdot\sum_{d_2\mid y}f(d_2)g\left(\dfrac{y}{d_2}\right)\\ &=h(x)h(y) \end{aligned}\]

因此 \(h\) 是积性函数。
这一运算即下文即将提到的狄利克雷卷积。

• 若 \(\displaystyle x=\prod_{i=1}^qp_i^{\alpha_i}\)，则 \(\displaystyle f(x)=\prod_{i=1}^qf(p_i^{\alpha_i})\)；
  若 \(f\) 为完全积性函数，则有 \(\displaystyle f(x)=\prod_{i=1}^qf(p_i)^{\alpha_i}\)。

常见的积性函数

单位函数 \(\epsilon\)

定义：\(\epsilon(n)=[n=1]\)。（完全积性）

积性证明：

• 当 \(x\neq1\) 或 \(y\neq1\) 时，有 \(xy\neq1\)，所以 \(\epsilon(xy)=0=\epsilon(x)\epsilon(y)\)。
• 当 \(x=y=1\) 时，显然有 \(\epsilon(xy)=1=\epsilon(x)\epsilon(y)\)。

恒等函数 \(\operatorname{id}_k\)

定义：\(\operatorname{id}_k(n)=n^k\)。\(\operatorname{id}_1\) 通常简记为 \(\operatorname{id}\)，\(\operatorname{id}_0\) 即下文的常数函数 \(1\)。（完全积性）

积性证明：\(\operatorname{id}_k(xy)=(xy)^k=x^ky^k=\operatorname{id}_k(x)\operatorname{id}_k(y)\)。

常数函数 \(1\)

定义：\(1(n)=1\)。（完全积性）

积性证明：\(1(xy)=1=1\times1=1(x)1(y)\)。

除数函数 \(\sigma_k\)

定义：\(\displaystyle\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k\)，\(\sigma_0\) 通常简记为 \(\operatorname{d}\)，\(\sigma_1\) 通常简记为 \(\sigma\)。

积性证明：\(\displaystyle\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}\operatorname{id}_k(n)1(\dfrac{n}{d})\)，根据积性函数的性质，\(\sigma_k(n)\) 也为积性函数。

欧拉函数 \(\varphi\)

定义：\(\displaystyle\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]\)。

积性证明：

\[\begin{aligned} \displaystyle\varphi(xy) &=\sum_{i=1}^{xy}[\gcd(i,xy)=1]\\ &=\sum_{i=1}^{xy}[\gcd(i,x)=1][\gcd(i,y)=1]\\ &=\sum_{i=1}^{xy}[\gcd(i\bmod x,x)=1][\gcd(i\bmod y,y)=1]\\ &=\sum_{i=1}^x[\gcd(i,x)=1]\sum_{i=1}^y[\gcd(i,y)=1]\\ &=\varphi(x)\varphi(y) \end{aligned}\]

莫比乌斯函数 \(\mu\)

定义：\(\mu(n)=\begin{cases}1,&n=1\\0,&\exists d>1,d^2\mid n\\(-1)^{\omega(n)},&\text{otherwise}\end{cases}\)，其中 \(\omega(n)\) 为 \(n\) 本质不同的质因数的个数。

积性证明：

• \(x=1\) 或 \(y=1\)：\(\mu(xy)=\mu(x)\mu(y)\)。(显然）
• \(\exists d>1,d^2\mid x\) 或 \(d^2\mid y\)：\(\mu(xy)=0=\mu(x)\mu(y)\)。
• \(\text{otherwise}\)：\(\mu(xy)=(-1)^{\omega(xy)}=(-1)^{\omega(x)+\omega(y)}=(-1)^{\omega(x)}(-1)^{\omega(y)}=\mu(x)\mu(y)\)。

狄利克雷卷积

狄利克雷卷积的定义

对于两个数论函数 \(f(n)\) 和 \(g(n)\)，\(\displaystyle h(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right)\) 称为其狄利克雷卷积，记作 \(h=f*g\)。

狄利克雷卷积的性质

下文中的 \(f\)、\(g\)、\(h\) 皆为数论函数。

• \(f*g=g*f\)。

证明：\(\displaystyle f*g=\sum_{d\mid n}f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right)=\sum_{d\mid n}f\left(\dfrac{n}{d}\right)g(d)=g*f\)。

• \((f*g)*h=f*(g*h)\)。

证明：

\[\begin{aligned} (f*g)*h &=\sum_{d_1\mid n}\left(\sum_{d_2\mid d_1}f(d_2)g\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)\right)h\left(\dfrac{n}{d_1}\right)\\ &=\sum_{d_2\mid n}f(d_2)\sum_{d_2\mid d_1,d_1\mid n}g\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)h\left(\dfrac{n}{d_1}\right)\\ &=\sum_{d_2\mid n}f(d_2)\sum_{\frac{d_1}{d_2}\mid\frac{n}{d_2}}g\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)h\left(\dfrac{n}{d_1}\right)\\ &=\sum_{d_2\mid n}f(d_2)\sum_{\frac{d_1}{d_2}\mid\frac{n}{d_2}}g\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)h\left(\dfrac{\frac{n}{d_2}}{\frac{d_1}{d_2}}\right)\\ &=\sum_{d_1\mid n}f(d_1)\sum_{d_2\mid\frac{n}{d_1}}g(d_2)h\left(\dfrac{\frac{n}{d_1}}{d_2}\right)\\ &=f*(g*h) \end{aligned}\]

• \((f+g)*h=f*h+g*h\)。

证明：

\[\begin{aligned} (f+g)*h &=\sum_{d\mid n}(f(d)+g(d))h\left(\dfrac{n}{d}\right)\\ &=\sum_{d\mid n}\left(f(d)h\left(\dfrac{n}{d}\right)+g(d)h\left(\dfrac{n}{d}\right)\right)\\ &=\sum_{d\mid n}f(d)h\left(\dfrac{n}{d}\right)+\sum_{d\mid n}g(d)h\left(\dfrac{n}{d}\right)\\ &=f*h+g*h \end{aligned}\]

• \(f=g\) 的充要条件是 \(f*h=g*h\)，其中 \(h(1)\neq0\)。

证明：充要性显然，接下来证明必要性。
假设 \(\exists n,f(n)\neq g(n)\)，则必定会有一个最小的 \(n\)，再令其为 \(x\)，令 \(r=f*h-g*h=(f-g)*h\)。
则有

\[\begin{aligned} r(x) &=\sum_{d\mid x}(f(d)-g(d))h\left(\dfrac{x}{d}\right)\\ &=(f(x)-g(x))*h(1)\\ &\neq0 \end{aligned}\]

即 \(f*h\) 和 \(g*h\) 在 \(x\) 处取值不相等。矛盾，所以必要性成立。

• \(f*\epsilon=f\)。

证明：\(\displaystyle f*\epsilon=\sum_{d\mid n}f(d)\epsilon\left(\dfrac{n}{d}\right)=f(n)=f\)。

• 若 \(\forall n\in \mathbb N^*,f(n)\neq0\)，则存在一个数论函数 \(g\)，使得 \(f*g=\epsilon\)，\(g\) 称为 \(f\) 的逆元，由上文的第 \(4\) 个性质可以得到逆元是唯一的。
  容易构造出 \(g(n)\) 的表达式为 \(\dfrac{\epsilon(n)-\sum_{d\mid n,d\neq1}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)}{f(1)}\)。
• 若 \(f\)、\(g\) 为积性函数，则 \(h=f*g\) 也为积性函数。
  由于上文已经证过，此处不再赘述。
• 若 \(g\) 为积性函数 \(f\) 的逆元，则 \(g\) 也为积性函数。

证明：

• 若 \(xy=1\)，则 \(g(xy)=g(1)=1\)，性质显然成立。
• 若 \(xy>1\)（\(\gcd(x,y)=1\)），假设 \(\forall ab<xy,gcd(a,b)=1\)，都有 \(g(ab)=g(a)g(b)\)，则：

\[\begin{aligned} g(xy) &=-\sum_{ab\mid xy,ab\neq1}f(ab)g\left(\dfrac{xy}{ab}\right)\\ &=-\sum_{a\mid x,b\mid y,ab\neq 1}f(a)f(b)g\left(\dfrac{x}{a}\right)g\left(\dfrac{y}{b}\right)\\ &=f(1)f(1)g(n)g(m)-\sum_{a\mid x,b\mid y}f(a)f(b)g\left(\dfrac{x}{a}\right)g\left(\dfrac{y}{b}\right)\\ &=g(n)g(m)-\sum_{a\mid x}f(a)g\left(\dfrac{x}{a}\right)\sum_{b\mid y}f(b)g\left(\dfrac{y}{b}\right)\\ &=g(n)g(m)-\epsilon(n)\epsilon(m)\\ &=g(n)g(m) \end{aligned}\]

由上两点可知性质成立。

• 若 \(h\) 是完全积性函数，则 \((f\cdot h)*(g\cdot h)=h\cdot(f*g)\)。

证明：\(\displaystyle (f\cdot h)*(g\cdot h)=\sum_{d\mid n}f(d)h(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right)h\left(\dfrac{n}{d}\right)=h(n)\sum_{d\mid n}f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right)=h\cdot(f*g)\)。

狄利克雷卷积的常用结论

• \(\mu*1=\epsilon\)。
• \(\varphi*1=\operatorname{id}\)。
• \(\operatorname{id}_k*1=\sigma_k\)。