题解：uoj659【ULR #2】Picks loves segment tree IX

牛牛题。

题意：给出一个操作序列，操作有四种，按位与，按位或，按位异或，加一。现在问对于一个数 $v$，经过 $[l,r]$ 这些操作，最后得到的第 $t$ 位值为多少。强制在线。

做法：

好像说这个 trick 叫按位划分状态。

考虑如果没有这个加法就简单完了，这里先给出一个没有加法可以做到 $O(n\log V)$ 预处理 $O(1)$ 查询的做法，后面回用到。我们记第 $t$ 位在第 $i$ 次操作上一次被操作到的位置为 $pre_{t,i}$。那么询问区间 $[l,r]$ 时就考虑 $pre_{t,r}$ 是否小于 $l$，如果小于，那么我们直接考虑区间异或和和 $v$ 异或上后的答案。否则因为我有一次覆盖操作，我就直接考虑覆盖后到 $v$ 的答案。

那么考虑加一操作怎么处理，有一个想法是建 Trie 然后在字典树上做，但是强制在线，可持久 Trie 太诡异了。实际的做法完全不需要用到数据结构。

我们考虑，如果末尾有若干个 $1$，那么我 $+1$ 其实可以认为是对低位做了一个集体异或。对于第 $i$ 位，我只在乎那些对我有用的 $+1$ 操作。

所以考虑记 $f_{i,j}$ 代表我现在的数末尾至少有 $i$ 个 $0$，也就是考虑第 $i$ 位，从第 $j$ 个操作开始，下一次第一次让我这个位被进位的位置。直接转移做不了，我们考虑记一个辅助数组 $g_{i,j}$，表示考虑第 $i$ 位，末尾恰好有 $i$ 个 $0$，即第 $i$ 位其实是 $1$，从第 $j$ 个操作开始，下一次末尾至少有 $i+1$ 个 $0$ 的位置。为了方便，令 $f_{i,j}\gets f_{i,j}+1,g_{i,j}\gets g_{i,j}+1$。

转移先考虑 $f$，如果 $[i,f_{i,j})$ 这些操作让 $i+1$ 第 $i$ 位进位了，也就是说，$[i,f_{i,j}-1)$ 这些操作让第 $i$ 位为 $1$，那么就会进位，$f_{i,j} = f_{i-1,j}$，否则 $f_{i,j} = g_{i - 1, f_{i - 1,{j}}}$。

然后考虑 $g$，如果 $[i,f_{i,j})$ 这些操作完第 $i$ 位保持 $1$，那就不会进位，$g_{i,j} = g_{i, f_{i,j}}$，否则 $g_{i,j}=f_{i,j}$。

那么询问就考虑我先一直跳 $g$，让末尾有 $t$ 个 $0$，如果没有那就意味着不会影响到第 $t$ 位，直接当没有加法的做即可；否则我们需要在 $t$ 这一层一直跳 $f_{t,p}$ 直到 $> r+1$，是 $r+1$ 是因为我的 $f$ 多加了 $1$。这个可以对每个 $t$ 建树出来跳，可以用倍增或者树剖，后者空间会更小。

时间复杂度和空间复杂度都是一只 $\log $ 的。

一些实现细节（如果和我是写的差不多的，看好像有很多写法不同的）：

因为 $+1$ 一定对第 $0$ 位有影响，不妨认为一定对第 $0$ 位异或，需要特判掉第 $0$ 位的一些东西。
仔细检查询问区间的边界，因为我对这个东西加一了所以很多时候需要减一。
注意判断加一操作是否会对我的这一位有影响，有些加一操作是不被认为有影响的，比如对第 $0$ 位加一其实被认为直接异或了就不能产生贡献。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5, mod = 998244353;
unsigned int x[maxn];
int n, q, op, opt[maxn], pre[32][maxn], f[32][maxn], g[32][maxn];
unsigned sx[maxn];
int query(int l, int r, int org, int t, int f) {
	if(r > n)
		return 0;
	if(l > r)
		return org;
	if(pre[t][r] < l)
		return (((sx[r] ^ sx[l - 1]) >> t) & 1) ^ org ^ (f && opt[r] == 3);
	return (((sx[r] ^ sx[pre[t][r]]) >> t) & 1) ^ opt[pre[t][r]] ^ (f && opt[r] == 3);
}
struct Tree {
	int dfn[maxn], sz[maxn], rev[maxn], son[maxn], top[maxn], rt, fa[maxn], tot, k, dv[maxn];
	vector<int> e[maxn];
	void dfs1(int u) {
		sz[u] = 1;
		for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) {
			int v = e[u][i];
			dfs1(v);
			sz[u] += sz[v];
			if(sz[son[u]] < sz[v])
				son[u] = v;
		}
	}
	void dfs2(int u, int t) {
		top[u] = t; dfn[u] = ++tot, rev[tot] = u;
		if(u != t)
			dv[fa[u]] = query(u, fa[u] - 1, 0, k, 1);
		if(!son[u])
			return ;
		dfs2(son[u], t);
		if(pre[k][fa[u] - 1] < u && u != t)
			dv[fa[u]] ^= dv[u];
		for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) {
			int v = e[u][i];
			if(v == son[u])
				continue;
			dfs2(v, v);
		}
	}
	void build(int K) {
		k = K;
		rt = n + 2; fa[n + 2] = n + 2;
		for (int i = 1; i <= n + 1; i++)
			e[f[k][i]].push_back(i), fa[i] = f[k][i];
		dfs1(rt);
		dfs2(rt, rt);
	}
	int queryseg(int v, int l, int r, int k) {
		return (pre[k][r - 1] < l ? v ^ dv[l] ^ dv[r] : dv[r]);
	}
	int queryt(int v, int l, int r) {
		while(fa[top[l]] <= r + 1) {
			v = query(top[l], fa[top[l]] - 1, queryseg(v, l, top[l], k), k, 1);
			l = fa[top[l]];
		}
		int lx = dfn[top[l]] - 1, rx = dfn[l];
		while(lx + 1 < rx) {
			int mid = lx + rx >> 1;
			if(rev[mid] <= r + 1)
				rx = mid;
			else
				lx = mid;
		}
		return query(rev[rx], r, queryseg(v, l, rev[rx], k), k, 0);
	}
} tree[32];
int key, bs = 1;
int main() {
//	freopen("test.in", "r", stdin);
//	freopen("std.out", "w", stdout);
	cin >> n >> q >> op;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		char c; cin >> c >> x[i];
		opt[i] = (c == '&' ? 0 : (c == '|' ? 1 : (c == '^' ? 2 : 3)));
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		sx[i] = sx[i - 1] ^ (opt[i] == 2 ? x[i] : (opt[i] == 3));
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j < 32; j++)
			pre[j][i] = pre[j][i - 1];
		if(opt[i] > 1)
			continue;
		if(opt[i] == 0) {
			for (int j = 0; j < 32; j++) {
				if(((x[i] >> j) & 1) == 0)
					pre[j][i] = i;
			}
		}
		else {
			for (int j = 0; j < 32; j++) {
				if(((x[i] >> j) & 1) == 1)
					pre[j][i] = i;
			}
		}
	//	for (int j = 0; j < 32; j++)
	//		cout << pre[j][i] << " ";
	//	cout << endl;
	}
	for (int i = 0; i < 32; i++)
		f[i][n + 1] = g[i][n + 1] = n + 2;
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		f[0][i] = (opt[i] == 3 ? i + 1 : f[0][i + 1]);
		g[0][i] = (query(i, f[0][i] - 1, 1, 0, 0) ? g[0][f[0][i]] : f[0][i]);
	//	cout << f[0][i] << " " << g[0][i] << endl;
	}
	for (int j = 1; j < 32; j++) {
		for (int i = n; i >= 1; i--) {
			f[j][i] = (query(i, f[j - 1][i] - 1, 0, j - 1, j > 1) ? g[j - 1][f[j - 1][i]] : f[j - 1][i]);
			g[j][i] = (query(i, f[j][i] - 1, 1, j, 1) ? g[j][f[j][i]] : f[j][i]);
	//		cout << i << " " << j << " " << f[j][i] << endl;
		}
	//	cout << endl;
	}
//	cout << f[3][2] << endl;
	for (int i = 0; i < 32; i++)
		tree[i].build(i);
	while(q--) {
		unsigned int v;
		unsigned int l, r, t; cin >> v >> l >> r >> t;
		v = v + key; l = (l ^ key) % n, r = (r ^ key) % n; t = (t ^ key) % 32;
		if(l > r)
			swap(l, r);
	//	cout << v << " " << l << " " << r << " " << t << endl;
		l++, r++;
		int nw = l, pos = 0;
		while(pos < t) {
			if(query(l, nw - 1, (v >> pos) & 1, pos, 1)) {
				if(g[pos][nw] <= r + 1) {
					nw = g[pos][nw];
					pos++;
				}
				else
					break;
			}
			else
				pos++;
		}
		int ans;
		if(t == 0) 
			ans = query(l, r, v & 1, 0, 0);
		else if(pos < t)
			ans = query(l, r, v >> t & 1, t, 0);
		else
			ans = tree[t].queryt(query(l, nw - 1, v >> t & 1, t, 1), nw, r);
		putchar(ans + '0');
		key = (key + op * bs * ans) % mod;
		bs = bs * 2 % mod;
	}
	return 0;
}
/*
7 5 0
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
3 0 4 0
3 0 4 1
3 0 4 2
3 0 4 3
3 3 3 2
*/

posted @ 2025-11-25 21:24 LUlululu1616 阅读(0) 评论(0) 收藏举报

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