无向图匹配的带花树算法
在北京冬令营的时候，yby提到了“带花树开花”算法来解非二分图的最大匹配。
于是，我打算看看这是个什么玩意。其实之前，我已经对这个算法了解了个大概，但是。。。真的不敢去写。
有一个叫Galil Zvi的人（应该叫计算机科学家），写了篇论文：
Efficient Algorithms for Finding Maximal Matching in Graphs
（如果你在网上搜不到，可以：http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/Galil%20Zvi.pdf）
这篇论文真神啊，它解决了4个问题：
（一般图+二分图）的（最大匹配+最大权匹配）问题。
算法的思想、故事，请自己看论文吧。
这个论文告诉了我们很多有趣的东西，例如：
用Dinic实现的二分图匹配的时间复杂度其实是O(M*N^0.5)，这也许能够解释为什么一般网络流算法比Hungry要快了。
另外，带花树算法的正确性的证明比较困难；而其时间复杂度是可以做到O(M*N^0.5)的，不过要详细实现，那么就快能到“ACM最长论文奖”了。
我写了一个实例代码：
http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/ural1099.cpp
没错，这是用来解决URAL 1099 Work Schedule那题的。时间复杂度是O（N＾３）
简述一下“带花树”算法吧：
它的核心思想还是找增广路。假设已经匹配好了一堆点，我们从一个没有匹配的节点s开始，使用BFS生成搜索树。每当发现一个节点u，如果u还没有被匹配，那么就可以进行一次成功的增广；否则，我们就把节点u和它的配偶v一同接到树上，之后把ｖ丢进队列继续搜索。我们给每个在搜索树上的点一个类型：S或者T。当ｕ把它的配偶ｖ扔进队列的时候，我们把ｕ标记为T型，ｖ标记为S型。于是，搜索树的样子是这样的：
ｓ
／ ＼
ａ ｂ
｜ ｜
ｃ ｄ
／ ＼ ／ ＼
ｅ ｆ ｕ ｊ
｜ ｜ ｜ ｜
ｉ ｊ ｖ ｋ
其中，黑色竖线相连的两个点是已经匹配好的，蓝色斜线表示两个点之间有边，但是没有配对。T型的用红色，S型的用黑色。
这里有个小问题：一个S型点ｄ在某一步扩展的时候发现了点ｕ，如果ｕ已经在搜索树上了（即，出现了环），怎么办？
我们规定，如果ｕ的类型是T型，就无视这次发现；（这意味着我们找到了一个长度为偶数的环，直接无视）
ｓ
／ ＼
ａ ｂ
｜ ｜
ｃ ｄ 如果连出来的边是指向T型点的，就无视这个边。
／ ＼ ／ ＼
ｅ ｆ＜－ ｇ
｜ ｜ ｜
ｉ ｊ ｋ
否则，我们找到了一个长度为奇数的环，就要进行一次“缩花”的操作！所谓缩花操作，就是把这个环缩成一个点。
ｓ
／ ＼
ａ ｂ
｜ ｜
ｃ ｄ
／ ＼ ／ ＼
ｅ ｆ ｜ ｇ
｜ ｜ ｜ ｜
ｉ ｕ＜－＋ ｋ
这个图缩花之后变成了５个点（一个大点，或者叫一朵花，加原来的４个点）：
缩点完成之后，还要把原来环里面的T型点统统变成S型点，之后扔到队列里去。
＋－－－－－－－－－－－－－＋
｜ ｜
｜ ｓ ｜
｜ ／ ＼ ｜
｜ ａ ｂ ｜
｜ ｜ ｜ ｜ 现在是一个点了！还是一个S点。
｜ ｃ ｄ ｜
｜ ／ ＼ ／ ＼ ｜
＋－｜－－ ｆ－－ｕ －－－｜－－－＋
｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜
｜ ＋－－－－－－－－－－－－－＋ ｜
｜ ｜
ｅ ｇ
｜ ｜
ｉ ｋ
为什么能缩成一个点呢？我们看一个长度为奇数的环（例如上图中的ｓ－ｂ－ｄ－ｊ－ｆ－ｃ－ａ－），如果我们能够给它中的任意一个点找一个出度（配偶），那么环中的其他点正好可以配成对，这说明，每个点的出度都是等效的。例如，假设我们能够给图中的点ｄ另找一个配偶（例如ｄ＇好了），那么，环中的剩下６个点正好能配成３对，一个不多，一个不少（算上ｄ和ｄ＇一共４对刚刚好）。
ａ－ｓ－ｂ－ｄ－ｄ＇ ａ ｓ－ｂ ｄ－ｄ＇
＼ ｜ ＝＞ ＼
ｃ－ｆ－ｕ ｃ ｆ－ｕ
这就是我们缩点的思想来源。有一个劳苦功高的计算机科学家证明了：缩点之前和缩点之后的图是否有增广路的情况是相同的。
缩起来的点又叫一朵花（ｂｌｏｓｓｏｍ）．
注意到，组成一朵花的里面可能嵌套着更小的花。
当我们最终找到一条增广路的时候，要把嵌套着的花层层展开，还原出原图上的增广路出来。
嗯，现在你对实现这个算法有任何想法吗？
天啊，还要缩点……写死谁。。。。。。
我一开始也是这么想的。
我看了一眼网上某个大牛的程序，之后结合自己的想法，很努力地写出了一个能AC的版本。
实现的要点有什么呢？
首先，我们不“显式”地表示花。我们记录一个Nｅｘｔ数组，表示最终增广的时候的路径上的后继。同时，我们维护一个并查集，表示每个点现在在以哪个点为根的花里（一个花被缩进另一朵花之后就不算花了）。还要记录每个点的标记。
主程序是一段BFS。对于每个由ｘ发展出来的点ｙ，分４种情况讨论：
１。ｘｙ是配偶（不说夫妻，这是非二分图。。。）或者ｘｙ现在是一个点（在一朵花里）：直接无视
２。ｙ是T型点：直接无视
３。ｙ目前单身：太好了，进行增广！
４。ｙ是一个S型点：缩点！缩点！
缩点的时候要进行的工作：
１。找ｘ和ｙ的LCA（的根）ｐ。找LCA可以用各种方法。。。直接朴素也行。
２。在Nｅｘｔ数组中把ｘ和ｙ接起来（表示它们形成环了！）
３。从ｘ、ｙ分别走到ｐ，修改并查集使得它们都变成一家人，同时沿路把Nｅｘｔ数组接起来。
Nｅｘｔ数组很奇妙。每时每刻，它实际形成了若干个挂在一起的双向链表来表示一朵花内部的走法。
－－－－
／ ＼＜－－＋
｜ ｜ ｜
｜ ｜＜－－＋
ｖ ｖ
－－－－－－－－－－
／ ＼
＋－ －－＋
｜ ｜
｜ ｜
＋－－－－＞ｓ ＜－－－－－－＋
有权图的最大匹配怎么做？
看论文吧。。。用类似KM的方法，不过，是给每个花再来一个权值。真的很复杂。。。
有一个人写了代码，好像是GPL许可证。。。你最好想办法搜到它的网站来看看版权的问题；总之，我先贴出来：
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