算法总结—最近公共祖先1
最近公共祖先定义
树上的两个点 \(a\) 和 \(b\)，它们的祖先中相同且深度最深的节点就是 \(a\) 和 \(b\) 的最近公共祖。
求法
1.暴力
把 \(a\) 和 \(b\) 的所有祖先都标记上，在从下往上找第一个两个都标记了的点。单次询问的时间复杂度 \(\mathcal{O}(dep_a+dep_b)\)。
1.5.暴力优化
-
如果 \(a\) 的深度 \(dep_a\) 比 \(b\) 的深度 \(dep_b\) 大，让 \(a\) 不停的往上跳，直至 \(dep_a=dep_b\)。
-
如果 \(a\) 的深度 \(dep_a\) 比 \(b\) 的深度 \(dep_b\) 小，让 \(b\) 不停的往上跳，直至 \(dep_a=dep_b\)。
-
如果 \(dep_a=dep_b\)，\(a\) 和 \(b\) 同时往上跳，直至 \(a=b\)。
单次询问的时间复杂度 \(\mathcal{O}(dep_a+dep_b-2dep_{\text{LCA}})\)。
2.倍增
预处理
预处理出 每个结点 \(i\) 的深度 \(dep_i\)，和每个节点 \(i\) 往上走 \(2_j\) 步所到达的点 \(dp_{i,j}\)。
\(dep\) 数组和好处理 \(dep_u=dep_{fa}+1\)。那么 \(dp\) 数组怎么转移呢，首先一个节点 \(i\) 往上跳 \(2_j\) 次等于 \(i\) 节点往上跳 \(2_{j-1}\) 所到达的节点往上再跳 \(2_{j-1}\) 次，所以 \(dp_{i,j}=dp_{dp_{i,j-1},j-1}\)，\(dp_{i,0}=fa\)。
预处理这一步的时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。
查询
为了方便操作，可以先让 \(a\) 的深度更小：
if(dep[a]>dep[b]){
swap(a,b);
}
再让 \(b\) 跳到和 \(a\) 同一深度，但不是一个节点一个节点去跳，而是利用 \(dp\) 数组跳，也就是对 \(dep_b-dep_a\) 进行二进制拆分：
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dep[dp[b][i]]>=dep[a]){
y=dp[b][i];
}
}
再次利用 \(dp\) 数组，让 \(a\) 和 \(b\) 同时往上跳，但不可以重合，因为重合了只能保证是公共祖先，不能保证深度最深：
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dp[a][i]!=dp[b][i]){
a=dp[a][i];
b=dp[b][i];
}
}
答案是 \(dp_{a,0}\)。
单次询问的时间复杂度 \(\mathcal{O}(\log n)\)。
【模板】最近公共祖先（LCA）
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>G[500005];
int dep[500005];
int dp[500005][21];
void dfs(int u,int fa){
dp[u][0]=fa;
dep[u]=dep[fa]+1;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];
}
for(auto i:G[u]){
int v=i;
if(v==fa){
continue;
}
dfs(v,u);
}
return;
}
int query(int x,int y){
if(dep[x]>dep[y]){
swap(x,y);
}
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dep[dp[y][i]]>=dep[x]){
y=dp[y][i];
}
}
if(x==y){
return x;
}
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dp[x][i]!=dp[y][i]){
x=dp[x][i];
y=dp[y][i];
}
}
return dp[x][0];
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n,q,s;
cin>>n>>q>>s;
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs(s,0);
while(q--){
int x,y;
cin>>x>>y;
cout<<query(x,y)<<"\n";
}
return 0;
}
点的距离
先求出 \(x\) 和 \(y\) 的最近公共祖先 \(LCA\)，答案就是 \(x\) 到 \(LCA\) 的距离加上 \(y\) 到 \(LCA\) 的距离 \(dep_x-dep_{LCA}+dep_y-dep_{LCA}\)。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>G[100005];
int dep[100005];
int dp[100005][21];
void dfs(int u,int fa){
dp[u][0]=fa;
dep[u]=dep[fa]+1;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];
}
for(auto i:G[u]){
int v=i;
if(v==fa){
continue;
}
dfs(v,u);
}
return;
}
int query(int x,int y){
if(dep[x]>dep[y]){
swap(x,y);
}
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dep[dp[y][i]]>=dep[x]){
y=dp[y][i];
}
}
if(x==y){
return x;
}
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dp[x][i]!=dp[y][i]){
x=dp[x][i];
y=dp[y][i];
}
}
return dp[x][0];
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs(1,0);
int q;
cin>>q;
while(q--){
int x,y;
cin>>x>>y;
int lca=query(x,y);
cout<<dep[x]-dep[lca]+dep[y]-dep[lca]<<"\n";
}
return 0;
}
Dis
先求出每个节点 \(i\) 到根节点的距离 \(dis_i\)，然后求出 \(x\) 和 \(y\) 的最近公共祖先 \(LCA\)，答案就是 \(x\) 到 \(LCA\) 的距离加上 \(y\) 到 \(LCA\) 的距离 \(dis_x-dis_{LCA}+dis_y-dis_{LCA}\)。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge{
int v,w;
};
vector<edge>G[10005];
int dep[10005];
int dp[10005][21];
int dis[10005];
void dfs(int u,int fa){
dp[u][0]=fa;
dep[u]=dep[fa]+1;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];
}
for(auto i:G[u]){
int v=i.v;
int w=i.w;
if(v==fa){
continue;
}
dis[v]=dis[u]+w;
dfs(v,u);
}
return;
}
int query(int x,int y){
if(dep[x]>dep[y]){
swap(x,y);
}
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dep[dp[y][i]]>=dep[x]){
y=dp[y][i];
}
}
if(x==y){
return x;
}
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dp[x][i]!=dp[y][i]){
x=dp[x][i];
y=dp[y][i];
}
}
return dp[x][0];
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n,q;
cin>>n>>q;
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v,w;
cin>>u>>v>>w;
G[u].push_back({v,w});
G[v].push_back({u,w});
}
dfs(1,0);
while(q--){
int x,y;
cin>>x>>y;
int lca=query(x,y);
cout<<dis[x]-dis[lca]+dis[y]-dis[lca]<<"\n";
}
return 0;
}
祖孙询问
先求出 \(x\) 和 \(y\) 的最近公共祖先 \(LCA\)。
-
如果 \(x=LCA\)，则 \(x\) 是 \(y\) 的祖先，输出
1。 -
如果 \(y=LCA\)，则 \(y\) 是 \(x\) 的祖先，输出
2。 -
否则 \(x\) 和 \(y\) 没有任何关系输出
0。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>G[100005];
int dep[100005];
int dp[100005][21];
void dfs(int u,int fa){
dp[u][0]=fa;
dep[u]=dep[fa]+1;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];
}
for(auto i:G[u]){
int v=i;
if(v==fa){
continue;
}
dfs(v,u);
}
return;
}
int query(int x,int y){
if(dep[x]>dep[y]){
swap(x,y);
}
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dep[dp[y][i]]>=dep[x]){
y=dp[y][i];
}
}
if(x==y){
return x;
}
for(int i=20;i>=0;i--){
if(dp[x][i]!=dp[y][i]){
x=dp[x][i];
y=dp[y][i];
}
}
return dp[x][0];
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n;
cin>>n;
int rt=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
if(v==-1){
rt=u;
continue;
}
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs(rt,0);
int q;
cin>>q;
while(q--){
int x,y;
cin>>x>>y;
int lca=query(x,y);
if(lca==x){
cout<<1<<"\n";
}else if(lca==y){
cout<<2<<"\n";
}else{
cout<<0<<"\n";
}
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号