25.10.03

QOJ13509

这个题加强到求 \(L\sim R\) 的每个数，虽然其实差不大。

考虑我们求的东西其实本质是 \(f(n)=\sum\limits_{i\mid n}\sum\limits_{j\mid (i-1)}[\gcd(i,j)=1]\)，首先后面这个 \(\gcd(i,j)=1\) 会注意到一定能满足，因为 \(i\bmod j=1\)。

然后就是数一些因数减一个数的东西。

考虑枚举 \(i\)，然后去算对其倍数 \(n\) 的贡献，首先会发现这个合法的 \(i\) 是 \(\mathcal{O}((R-L)\ln(R-L))\) 差不多的，所以很能弄。

现在求一段区间 \(l\sim r\) 的每个数有多少个因数就行。

这个东西可以枚举 \(\sqrt{R}\) 内的质数跑埃筛，不要只知道你那个神秘欧拉筛。

这样就能过了……

LOJ2849

\(p=1\) 只给自己放喇叭就行，写出来是二维数点。

\(p=2\) 考虑离 \(i\) 最近的喇叭 \(j\)，显然是两侧更远的那些位置都放上喇叭。

考虑把这个 \(j\) 的距离拉远，发现没放喇叭的那一段跟 \(i\) 的相对大小是不会变的，而 \(i\) 的耗时增大但放了喇叭的段没变。

所以只需尽量远地放喇叭，但要保证两侧都放了喇叭，总之也是二维数点。

还有个情况是只有一侧放了喇叭，这个也是二维数点。

啥是二维数点？

QOJ913

一个很明显的想法是我们要把 \(\mathbf{L}\cap\mathbf{R}\) 的部分枚举划分，这样是一个 \(\operatorname{Bell}(C=\operatorname{card}(\mathbf{L}\cap\mathbf{R}))\)，大概是 \(10^6\) 的级别。

划分完之后需要跟两边求 MST，考虑优化。

很容易想到 MST 的方案其实很大一部分是通用的，考虑有没有什么必选边。

左侧为例，一开始如果不考虑 \(\mathbf{L}\cap\mathbf{R}\) 的点，那么跑一个 MST 出来，没选到的边一定都不要。

为啥？因为如果加进去了 \(\mathbf{L}\cap\mathbf{R}\) 的点，只能是再替换掉一些边，不能放进来别的边。

然后考虑这里面有些边不必要，就意味着可能是通过两个考虑了 \(\mathbf{L}\cap\mathbf{R}\) 的边联通。

注意这相当于把 \(\mathbf{L}\cap\mathbf{R}\) 直接缩起来之后就不用这些边了，而直接缩起来用到的边是 \(C-1\) 条，也就是这些能被替换掉的边也是 \(C-1\) 条。

于是我们知道只有这 \(C-1\) 条需要考虑弃掉。

右侧同理做，这样枚举完划分后一次 MST 就是 \(C\lg C\) 的了。

ARC116F

fun fact：这个题自己想到的时候搞成做完奇数长度操作反转了，然后发现巨大困难。

这个就是 \(n\) 个同时进行的 choosing carrot。

对于一个长度为偶数的 choosing carrot，我们可以拿到 \(\max(a_m,a_{m+1})\)，且做完后反转先后手。

对于一个长度为奇数的 choosing carrot，我们可以拿到 \(\max(\min(a_m,a_{m-1}),\min(a_m,a_{m+1}))\)，且做完后不反转先后手。

反转先后手也就是上面的 \(\min,\max\) 倒一下。

但是我们想，一定是对着一个序列做完吗？

注意到对于偶数长度的，显然先手具有巨大优势，而奇数长度的后手有优势。

因此奇数长度的一定是两个人对着它一直转，后手不可能给先手留出这个变成偶数长度的序列。

策略变为两个人抢偶数长度的，然后奇数长度的直接做。

而抢偶数长度这一块显然就是 \(\max-\min\) 排序然后一个加一个减地贪心。

CF1934D2

考虑如果只有一个二进制位那我们就鼠了。

如果有俩就赢了。

归纳一下，奇数鼠偶数赢，考虑现在有 \(k\) 个，如果是偶数个，我们可以把 \(\operatorname{highbit}(n)\) 弄出来，这样对手只能拿一个奇数位的数，而一个奇数位的鼠必定拆成一奇一偶，那我们就还能赢。

同理奇数位就会鼠。

然后如果一开始是奇数位，我们就让贤给对面。

记得要取 \(\operatorname{highbit}(n)\)，取 \(\operatorname{lowbit}(n)\) 是错的，位数减的不够快。

CF1776I

可以选先后，那只要我轮次不比对手多，而且我每次拿的都比对手少，那就可以满足一半这个不算严格的限制了。

一个结论是我们凸包上最小的三角形一定是三个相邻顶点构成的，恰好就是题目要的这种。

因此我们每次取凸包上的最小三角形就行了，复杂度是 \(\mathcal{O}(n^2)\)。

至于这个 \(n\le 100\)，三次方或四次方区间地皮和我的超级贪心说去吧！