day6

P7589 黑白棋

观察到后退操作非常局限，只要自己贴近了，对手就会被卡住反复后退。

因此根本用不出这个操作，那原问题就相当于 Nim 游戏。

阶梯 Nim

大概是说序列 \(0\) 位置是垃圾桶，每次可以把 \(i\) 移交任意石子给 \(i-1\)，不能操作者负。

这个问题咋看没啥思路，但有个很巧妙的方法：取一个特征量，保持其不变。

对于偶数 \(i\)，当一个人将一些石子移到 \(i-1\) 时，另一个人可以把等量的石子移到 \(i-2\)，于是奇数 \(i\) 上的石子总数总不会改变。

这个操作先后手都能做，那么它的影响对于先后手都不存在，于是只有奇数 \(i\) 上的石子是有用的，且操作相当于取石子，终态是和为 \(0\)。

于是相当于奇数位置上的 Nim 游戏，这就是阶梯 Nim。

P2575 高手过招

显然这个 20 没啥用，然后可以看作多个游戏。

移动棋子的方式比较鬼畜，画出来容易发现看成把空格之间的棋子合并拆分，而且只能往左放，那这就是个阶梯 Nim。

loj6364 烂柯

把 \(k\) 当作根，按深度奇偶性分类，相当于树上阶梯 Nim。

P13114 Bacterial Tactics

不是博弈。

是个公平组合游戏，可以求 SG 值。

设 \(f(x_1,y_1,x_2,y_2)\) 为一个矩形的 SG 值，枚举先手操作进行转移。

P13263 Willow

讨论题，枚举第一条边，然后分 同向/异向/相向 讨论。

前两种情况可以简单处理，最后一种也可以预处理一些信息出来递推。

CF1037G A Game on Strings

显然可以对 SG 值区间 dp，然后考虑这个区间 dp。

注意到游戏的状态数实际很少，因为操作一次后除了两端，其余生成的串端点都是同字符。

称两端同字符的串为一般串，不同的为特殊串。

因为一般串是极小的，所以个数是 \(\mathcal{O}(n)\) 的，特殊串可以看作一般串的前后缀，个数是 \(\mathcal{O}(n|\Sigma|)\) 的。

处理一下一般串的前缀异或和，然后直接记忆化貌似就是对的。

CF1704F Colouring Game

对于 RB 分开的位置，然后互相独立，一定是对形如 WRRRRW 的从外往内逐个 R 消去，因此只需比较两种颜色的个数。

对于 RB 连续的位置，先后手都会争抢。

考虑做一次 RB，两个颜色消去一样的数量，最后还是判断起始的 RB 个数，然而此时可能攻守之势异也。

不过有影响的也只是初始 RB 数相同的情况，初始 RB 数不同的话，就算反转了救不回来。

因此这个问题相当于不断删 RB，删不了的负。

考虑初始的 RBRBRB 这样的段，每段独立且一次操作会将其断开。

据此 dp 其 SG 值 \(f_i\)，然后发现它有循环节，就完了。

CF725F Family Photos

对一张照片讨论。

若 \(a_1+b_1\ge a_2+b_2\)，那么先后手都想要第一张。

否则考虑 \(a_1+b_1<a_2+b_2\)，两个人都不想要第一张，那这对照片就拿不走了。

不过思考一下，取完前面的若干对，那如果剩下 \(a_1>b_2\)，先手就不取白不取，反之 \(b_1>a_2\)，后手不取白不取。

是否存在后手看到先手取了个 \(a_1\)，然后跑去另外拿一张的情况？

不可能，如果此时没出现一个人拿一对，那么是可以归类到上面的，如果此时有一个人拿一对，比较一下发现也可以归类到上面。

AGC010D Decrementing

注意到有 \(1\) 就胜负已定，且只关注 \(\sum{a_i-1}\) 奇偶性。

因此考虑是否存在维持和改变奇偶性的做法。

显然希望 \(\gcd{a_i-1}\) 是奇数，这样就不会因为除法改变奇偶性。

注意到对于 \(\sum{a_i-1}\) 为奇数先手占优，此时若有一个 \(a_i\) 是奇数，那么先手可以减少一个偶数 \(a_j\)，这样至少有两个奇数给后手。

后手做完之后，因为不涉及除法，所以先手维持了自己优的奇偶性。

如果一开始 \(\sum{a_i-1}\) 是偶数，那么先手就需要想办法翻盘。

显然后手可以用一样的操作控制局面，因此先手必须在第一步就做出一个除法，也就是对序列里唯一的奇数 \(a_i\) 做一次减少。

做完后如果 \(\sum{a_i-1}\) 仍然是偶数，后手也可以尝试翻盘，方法同理。

然而能翻盘就必定会做除法，那么最多模拟 \(\mathcal{O}(\lg V)\) 轮就可以直接判断。

CF1149E Election Promises

既然没有环，那就很好说了。

考虑链，发现这个东西类似阶梯 Nim。

考虑 DAG，发现这个东西要做成阶梯 Nim 需要一个适合的分组。

就像奇偶性分组一样可以一步维持局面，那我们一步操作就能干掉所有组。

比较神秘地可以想到 \(\operatorname{MEX}\) 就是满足这个性质的！

于是直接在 DAG 上跑出 sg 函数然后按照这个分组模拟即可。

P9537 Qingshan and Daniel 2

ABC398GNotOnlyTreeGame