P2512 [HAOI2008]糖果传递
算法 ： 瞎搞......
这种题是真的恶心....
以下为一堆的结论和证明...
（自己口胡的，比较细，实在不想看也可以直接看结论）
首先如果要让每个人最终的糖果一样多
1.那么肯定最终每个人的糖果数量为 每个人糖果数量的平均数..(显然...)
还有一个显然的结论：
2.如果 a 把糖分给别人，那么 a 就不应该再收到糖
不然就不可能是最优方法（a 还不如少分一点糖给别人,这样糖果的交换数量还更小）
当然反过来也一样。
3.如果 a 的糖果数量大于平均数，那么 a 一定要分糖给别人（由 1. 可得）
并且 a 也不会再接受其他人的糖（由 2. 可得）
反过来也是一样：
如果 a 的糖果数量小于平均数，那么 a 一定要从别人接受糖，并且 a 也不会分给其他人糖。
所以有一种比较好的方法：对于每个人只要把多出来的糖传给下一个就好了
如果是缺少糖就把需求传给别人，让别人把需求传下去，设多的是正数，那么需求就为负数，如果负数被抵消了就说明有正数把需求"填满"了，相当于有多出来的糖返回给缺少的人了....(这里可能需要一点网络流反向边的思想...)。
（但是网络流是不可能的，数据太大，直接凉了）
设第 i 个人 原本的糖果数量为 a[ i ]，第 i 个人原本的糖果数量减去平均数量 为 b[ i ]，（b[ i ] 可能为负数，表示 i 需要 abs( b[ i ] ) 个糖）
那么最终就是要经过转移让所有的 b 都为 0 。
先考虑第一个人 k 怎么分（因为是环形，所以每个人都可以是第一个人）
由 3. 可得，要分 b[ k ] 个糖
那要怎么分（可以左边给几个，右边给几个，也可以只给一边）
方案太多不好搞
但是要注意：4.分给两边其实相当于一边的某一个点把多出来的全部分给另一边....
怎么描述呢：
就是说 k 分给左边几个糖，分着分着，分到点 j 分完了，剩下的分给右边，最后分到 j 肯定也刚好分平均（由 1. 易证得）
那就相当于点 j 把要分的的糖全部分给右边
怎么抽象地证明呢：
自己动手，丰衣足食...
也不难，k 分给左边几个糖，分到 j 没了，说明 j 是有需求的
相当于 j 带着需求跑到 k ，这时 j 的需求也刚好没了，然后 k 少了几个糖，把剩下的糖往另一边分
也就相当于 j 带着全部需求跑了一圈，跑完就分完了
所以由4.可知
我们只需要判断每个点把(需求 or 盈余)只往一边分需要多少糖
对于第一个点 k 要分b[ k ] 个，则对于 k+1 要分 b[k+1]+b[ k ]，......，对于 k+m 则要分 b[ k,k+1,...,k+m] 个
那要怎么快速计算这种东西呢
前缀和...
先预处理出 1 到 n 的前缀和，为sum
对于前面的式子，可以化为 abs(sum[ k ]-sum[ k-1 ])，abs(sum[ k+1 ]-sum[ k-1 ])，...，abs(sum[ k+m ]-sum[ k-1 ])
那要怎么选取 k-1 才能使之和最小呢
稍微转换一下：
把每个sum都放到数轴上，则前面的式子就是某个点 k-1 到所有其他点的距离之和
怎么找最小的和那就是“货仓选址”问题了
好吧讲了这么多终于可以发代码了......
代码难度为0.....
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } return x*f; } int n; int a[1000007],b[1000007]; long long ans,tot; long long sum[1000007]; int main() { n=read(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),tot+=a[i]; tot/=n; for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i]-tot; for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+b[i]; sort(sum+1,sum+n+1); tot=sum[(n+1)/2]; for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(tot-sum[i]); cout<<ans; return 0; }
