AT_dp_t Permutation 题解

AT_dp_t Permutation

解析

真的是一道很好的dp。
首先，题目只要求我们排列中数字的大小关系，不要求数字具体是多少，所以这里可以有个类似离散化的思想。

比如：

4 7 9 1 2

就可以看成

3 4 5 1 2

现在数字是几不关心了，我们需要的是某一时刻某一位上数字在排列中的大小。这样我们能想到记录第 \(i\) 位在 \(1\) 到 \(i\) 中排第几大。

设计 \(dp_{i,j}\) 为在第 \(i\) 个位置，这个数是当前已经排好的数中第 \(j\) 大。

\( dp_{i,j} = \begin{cases} \sum_{k=1}^{j-1}dp_{i-1,k} & s_{i-2}='<'\\ \sum_{k=j}^{i-1}dp_{i-1,k} & s_{i-2}='>'\\ \end{cases}\)

这里补充一点：
Q：当 \(s_{i-2}='>'\) 时，为什么求和是从 \(j\) 开始？
A：还未插入 \(a_i\) 时，\(a_{i-1}\) 是第 \(j\) 大；插入 \(a_i\) 后，\(a_i\) 是第 \(j\) 大了，说明 \(a_i>a_{i-1}\)。

现在dp转移复杂度是 \(O(n)\)，用前缀和 \(sum\) 数组优化一下。
\(sum_{i,j}=sum_{i,j-1}+dp_{i,j}\)

最后的转移为：

\( dp_{i,j} = \begin{cases} sum_{i-1,j-1} & s_{i-2}='<'\\ sum_{i-1,i-1}-sum_{i-1,j-1} & s_{i-2}='>'\\ \end{cases}\)

答案记得取模。

AC Code

老师自己也说不清为什么用滚动数组，不过挺简洁的。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=3005,mod=1e9+7;
string s;
int n,dp[3][N],sum[3][N]; 
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	cin>>n>>s;
	dp[1][1]=sum[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int nw=i%2,nxt=nw^1;
		for(int j=1;j<=i;j++){
			int& d=dp[nw][j];
			d=(s[i-2]=='>')?(sum[nxt][i-1]-sum[nxt][j-1]+mod)%mod
							:sum[nxt][j-1];
			(sum[nw][j]=sum[nw][j-1]+dp[nw][j])%=mod;
		}
	}
	cout<<sum[n%2][n];
	return 0;
}