一类特殊的区间 dp

前言

这东西去年就看了，但是感觉理解的不是很深刻。今年再来加深一下理解吧！虽然可能这辈子不会再用到了。

引入

先看一个题吧：CF1132F

没什么分析的必要，直接给个转移方程吧。

\[\begin{cases} f_{i,i}=1\\ f_{i,j}=\min(f_{i+1,j},f_{i,j-1})&s_i=s_j\\ f_{i,j}=\min\limits_{i\le k<j}f_{i,k}+f_{j+1,r} \end{cases} \]

没啥难理解的。不过现在让我们深度（能有多深？）思考一下。这个题之所以可以有第二条转移，恒为 \(1\) 的代价是关键的，它允许我们每次可以不考虑相同的两端点的其中一个，让这个贡献只在另一个端点处计算就好了。那么我们加强一下，代价与每次删除的长度呈函数关系。这样一来，第二条转移就不成立了。因为要计算贡献，仅仅知道“有”是不够的，还得知道“有多长”。这引出了今天的主角。

e.g.UVA10559 Blocks

这位更是重量级

代价变为了 \(x^2\)，上面两维的状态无法很好地解决问题了。我们应该需要一个记录长度的第三维。

那么究竟要怎么设计呢？不妨从整个过程来看看吧！现在有一段连续的由同样字母组成的子串，我们可以进行两种操作：

• 删除，并把左右合并。
• 保留，等待其他子串与之合并。

然后我发现并不能很自然地推出状态。究竟是注意力不够还是怎么样，我不懂。总之就直接给出吧：

设 \(f_{i,j,k}\) 表示删除了 \(i\sim j\) 的同时，还删除了区间后方（不包括 \(s_j\)）的 \(k\) 个与 \(s_j\) 相同的字符，所能获得的最大价值。（当然了，定义为区间前方也是一样的）

有必要提及的一点是，这里的删除是和 \(s_j\) 一起删掉，也就是中间的空缺在这之前就被删掉了。换句话说，这 \(k\) 个字符可能原本并不是连续的一段。

然后依照上面的操作，我们有两种转移。

第一种：

\[f_{i,j,k}=\max\limits_{i\le p<j\wedge s_p=s_j}f_{p+1,j-1,0}+f_{i,p,k+1} \]

含义是：我们在 \(i\sim j\) 中找到一个 \(s_p=s_j\)，把 \(p+1\sim j-1\) 删去，然后合并剩余部分。

第二种：

\[f_{i,j,k}=f_{i,j-1,0}+(k+1)^2 \]

含义是：我们直接删掉 \(s_j\)，合并剩余部分。

答案就是 \(f_{1,n,0}\)。

这两个转移是互相独立的。他们又相辅相成，涵盖了所有情况，还可以保证状态中的 \(k\) 个字符间的多余字符一定先被处理掉了。

这个状态设计真的很妙。妙在我至今不知道为什么要这么设计，原因何在？而这两个转移之间又是如何做到不重不漏的？我想，我只能感性理解了。可能这就是我缺少的“灵感”吧。不过记住了总是好的。但是只是记住了，什么时候能做到灵活运用呢？

不说闲话了。个人感觉记搜好写点？可能还能规避掉一些无用的状态？总之代码如下：

int solve(int l,int r,int k){
	if(l>r) return 0;
	if(l==r) return sqr(k+1);
	if(f[l][r][k]>=0) return f[l][r][k];
	int res=0;
	res=max(res,solve(l,r-1,0)+sqr(k+1));
	FOR(i,l,r-1){
		if(a[i]==a[r]){
			res=max(res,solve(i+1,r-1,0)+solve(l,i,k+1));
		}
	} 
	f[l][r][k]=res;
	return res;
}

时间复杂度应该是 \(\mathcal{O}(n^4)\)，不过我认为跑不满。

更多题目

P2135 这个完全一样吧，只有输入需要简单处理一下。

CF1107E 只是代价计算方式改变了而已。

SP6340

这个题还是有点厉害的。

首先大体框架还是和上面一样。只不过消除掉一段并没有贡献了，而且在第二种转移时，如果第三维不足 \(k-1\) 个，则我们可以给第三维 \(+1\)，并且消耗 \(1\) 的代价。如果正好有 \(k-1\) 个，则可以直接删去。不可能多于 \(k-1\) 个——我们要通过第一种转移时对 \(k-1\) 取 \(\min\) 来保证这个。

int dp(int l,int r,int sum){
	if(l>r) return 0;
	if(f[l][r][sum]!=-1) return f[l][r][sum];
	f[l][r][sum]=INF;
	int ans=INF;
	if(sum<k-1) ans=min(ans,dp(l,r,sum+1)+1);
	else if(sum==k-1) ans=dp(l+1,r,0);
	FOR(i,l+1,r) if(a[i]==a[l]) ans=min(ans,dp(l+1,i-1,0)+dp(i,r,min(k-1,sum+1)));
	f[l][r][sum]=ans;
	return f[l][r][sum];
}

（这里的 \(sum\) 指的是区间前的 \(sum\) 个）