【数学】矩阵白化原理及推导
矩阵白化目的
如对于任意一个矩阵\(X\)，对其求协方差，得到的协方差矩阵\(cov(X)\)并不一定是一个单位阵（对角阵）；【注意：协方差矩阵是对称矩阵，但不一定是对角阵】而矩阵白化就是找到一个变换矩阵\(P\)，使得\(Y=PX\)的协方差矩阵\(cov(Y)\)是一个单位阵（对角阵）。因为通过矩阵白化后，协方差是个对角阵(单位阵)，那么就代表着矩阵Y的各个向量(向量是列向量还是行向量要根据求协方差时\(cov(X)=XX^T还是X^TX来判断\))之间就不相关了。或者说，矩阵白化的目的就是让被变换的矩阵经过变换后其向量的方差相同（因为是单位阵）那么该怎么找到这个变换矩阵\(P\)呢？
矩阵白化推导
对于矩阵\(X\)，其协方差矩阵\(cov(X)=XX^T\)并不一定为对角矩阵，但是对于实对称的协方差矩阵可以有如下的特征值分解：详见【特征值分解】
\[cov(X)=Q\Lambda Q^{T}
\]
其中的\(\Lambda\)为由特征值组成的对角矩阵，\(Q\)为对应的特征向量，是一个正交矩阵。现在我们要找到线性变换矩阵P，使得\(Y=PX\)的协方差矩阵可以是单位阵，即
\[cov(Y)=YY^T=PX(PX)^T=PXX^TP^T=Pcov(X)P^T=E（单位阵）
\]
现在令\(P=\Lambda^{-1/2} Q^T（矩阵开根号就是其中的每个元素开根号）\)，那么有
\[\begin{aligned}
cov(Y)&=Pcov(x)P^T\\
&=\Lambda^{-1/2} Q^TQ\Lambda Q^{T}(\Lambda^{-1/2}Q^T)^T \\
&=\Lambda^{-1/2} Q^TQ\Lambda Q^{T}Q\Lambda^{-1/2}\\ （因为Q是正交矩阵，即QQ^T=E）
&=\Lambda^{-1/2}\Lambda \Lambda^{-1/2}\\
&=E
\end{aligned}
\]
所以说当\(P=\Lambda^{-1/2} Q^T\)时，可以使得\(Y=PX\)的协方差矩阵为单位阵(对角阵)。
因此 ，通过矩阵白化后，矩阵Y的各个向量(列向量还是行向量根据上文确定)之间就不相关了.
