数学积累（强基2 例45~64）

46 4球放入大球

不妨四个小球按照正四面体摆放，这就是最好的方法。

而这个正四面体棱长为 2。

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45 4球放入正四面体

还是按照正四面体摆放，问题是如何求大的正四面体棱长？

我们知道对于正四面体有：

• \(h=\dfrac{\sqrt 6}{3}a\)；
• \(R=\dfrac{\sqrt 6}{4}a\)；
• \(r=\dfrac{\sqrt 6}{12}a\)；
• \(V=\dfrac{\sqrt 2}{12}a^3\)。

这里不妨用 \(r\) 关系，注意到球和外四面体的距离为 r=1，有方程：

\(2r_0+1=r\)。

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47 4球放入正方体

还是先按照正四面体摆放，使外面一个大的正方体和这四个球面切。边长易计算。

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48

等势线思想。把 x 轴理解成电场强度就做完了。根据等势面可以求得 x 轴就是其垂线，最后表达出 A 到等势面的距离等于 1 即可得。

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50

此题如果想确定体的位置，是非常困难的。所以思路是：根据体的性质转化！

对棱垂直，那么首先对于正三棱柱就有要求：侧面是 \(\sqrt 2 -- 1\)。

而后知道了两条对棱所在直线，就可以由其在正四面体异面直线距离的表达式建立方程求解。

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51 2025 清华

史山题。计算复杂！

注意这个球心 O 非常不好翻译，但是我们要尝试空间问题平面化。不妨表达成在两点的中垂面上。

放入面内研究，发现在另两点的中垂线上。但是没有翻译完！还要保证 R 都是相等的，这就建立了一个方程。

注意题目还有一个方程，所以我们设 R 和 a 就可以求解，计算麻烦，不好建系所以要到处找直角三角形，又有思维难度……

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52

结论：过定点的动面和一个面所成角为定值，则其围成一个圆锥。

首先需要分析 75 时是否在体内，判断底面投影圆即可。

注意情况讨论完全！等腰就说明可能是侧面等或者底面和侧面等，共 3 个底面定点就有了 12 个。

在侧面等的基础上，使一点接近 B 另一点接近 C 还可以得到 6 个！

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53 正方体投影面积

结论：从任意方向观察正方体，看到的平面图最多有 3 个面组成。

研究 123 面的情形即可，注意看到的 3 个面时，每个面都是平行四边形，由对称性/感知知道当这个投影是正六边形时取 max=\sqrt 3。

min=1。一个面的时候。

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56

根据特殊点画出函数图像研究交点。

计数。

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57

构造空间几何体问题：平面化。

三棱锥：平面中的翻折问题

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59

面积射影公式。

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60

平移至一个平面研究 / 三余弦定理。

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61

三面角余弦定理。

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62

墙角模型及其推论（很重要！！！） / 最小角定理放缩。

63 是其推论。

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64

结论：CH4，正四棱锥。